selbstad. Endo. Ansatz. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Mi 15.06.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hey,
ich habe eine Aufgabe bekommen, und habe für diese keinen Ansatz.
Es sei V ein euklidischer Vektorraum.
Zu jedem [mm] a\in V*[/mm] (also ohne Null) gibt es einen Endom. [mm]S[sub]a[/sub]: V \to V[/mm],
der definiert ist durch
[mm]S[sub]a[/sub](x):=x- \bruch{}{}*a[/mm] für alle [mm] x\in [/mm] V.
Sei [mm] a\in [/mm] V*:
Zeigen Sie:
1.)[mm]S[sub]a[/sub](x)=-x[/mm], falls [mm]x\in \IR*a[/mm], und [mm]S[sub]a[/sub](x)=x[/mm], falls [mm]x\in \IR*a[/mm].
2.)[mm] = [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] V.
So, hier habe ich versucht für [mm] ; S[sub]a[/sub](x):=x- \bruch{}{}*a[/mm] einzusetzen und rumzurechnen, so dass ich auf
[mm] -<\bruch{}{}*a,y>. [/mm] Jetzt komme ich jedoch nicht weiter.
3.) [mm] Sa [mm] \circ[/mm] [mm]S[sub]a[/sub]=id[sub]V[/sub][/mm]; der Endomorphismus ist orthogonal.
Also, d.h. ja [mm]f \circ f[sup]ad[/sup] = f[sup]ad[/sup] \circ f = id[sub]V[/sub], d.h. f[sup]ad[/sup] = f[sup]-1[/sup][/mm].
Aber wie wende ich genau das hier an ?
4.) det Sa = -1, falls V endlich-dimensional.
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> Es sei V ein euklidischer Vektorraum.
> Zu jedem [mm]a\in V*[/mm] (also ohne Null) gibt es einen Endom.
> [mm]S[sub]a[/sub]: V \to V[/mm],
> der definiert ist durch
> [mm]S[sub]a[/sub](x):=x- \bruch{}{}*a[/mm] für alle [mm]x\in[/mm]
> V.
> Sei [mm]a\in[/mm] V*:
> Zeigen Sie:
> 1.)[mm]S[sub]a[/sub](x)=-x[/mm], falls [mm]x\in \IR*a[/mm], und
> [mm]S[sub]a[/sub](x)=x[/mm], falls [mm]x\in \IR*a[/mm].
Hallo,
Punkt 1) sagt, daß Vielfache von a auf die 0 abgebildet werden: [mm] S_{a}( \lambda [/mm] a)=0, [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
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> 2.)[mm] = [/mm] für alle x,y
> [mm]\in[/mm] V.
Es ist <.,.> ein Skalarprodukt auf V, insbes. bilinear und symmetrisch:
[mm] -=(- \bruch{}{})-(- \bruch{}{})=...
[/mm]
> 3.) [mm]Sa [mm]\circ[/mm] [mm]S[sub]a[/sub]=id[sub]V[/sub][/mm]
Hm. Bei mir kommt raus: [mm] S_{a} \circ S_{a}=S_{a} [/mm] ...
Aber vielleicht sind Dir da oben irgendwelche kleinen Zeichen verloren gegangen?
Gruß v. Angela
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