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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral
I = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+x)}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion h(t) = tan(t), nutzen Sie (ohne Beweis) die trigonometrische Identität
1+tan(t)= [mm] \wurzel{2} \bruch{cos(t- \bruch{\pi}{2})}{cos(t)}
[/mm]
und wenden Sie
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-a}^{-b}{f(-x) dx}
[/mm]
auf eine achsensymmetrische Funktion an. |
Hallo
habe folgender maßen angefangen:
[mm] \integral_{h(0)}^{h(1)}{\bruch{ln(1+x)}{1+x^{2}} dx} =\integral_{0}^{1}{ f(h(t))*h'(t) dt , mit f(x) = \bruch{ln(1+x)}{1+x^{2}}} [/mm] und h(t)=tan(x), h'(t) = [mm] 1+tan^{2}(t).
[/mm]
also ist folgt daraus
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+tan(t))}{1+tan^{2}(t)}*1+tan^{2}(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{ln(1+tan(t))dt}
[/mm]
und mit der trigonometrische Identität folgt dann:
= [mm] \integral_{0}^{1}{ln(\wurzel{2} \bruch{cos(t- \bruch{\pi}{2})}{cos(t)} )dt}
[/mm]
ist es bis dahin erstmal richtig, und wenn ja,
wie mache ich dann weiter???
bin über jede antwort erfreut.
MFG
Nathenatiker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ach ja, und wenn es jemanden hilft, die Lösung ist auch schon bekannt: [mm] \bruch{\pi*ln(2)}{8} [/mm] (nur der weg dahin muss halt geklärt werden)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 09.02.2006 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nathenatiker
Mit der goniometrischen Identität kann ich überhaupt nichts anfangen. So, wie du sie wiedergegeben hast, stimmt sie garantiert nicht! Bitte überprüfe das nochmals.
Ich würde mal mit partieller Integration beginnen:
[mm] $\int \bruch{\ln(x+1)}{x^2+1} \, [/mm] dx = [mm] \arctan(x) [/mm] * [mm] \ln(x+1) [/mm] - [mm] \int \bruch{\arctan(x)}{x+1} \, [/mm] dx$
Mit den Integrationsgrenzen also:
[mm] $\bruch{\pi*\ln(2)}{4}-\int_0^1 \bruch{\arctan(x)}{x+1} \, [/mm] dx$
Mit der Substitution $x = [mm] \tan(t)$, [/mm] $dx = [mm] \bruch{dt}{\cos^2(t)}$ [/mm] und den neuen Integrationsgrenzen $0_$ bis [mm] $\pi/4$ [/mm] kommst du vielleicht weiter, wenn du den Hinweis noch richtig anwendest. Ich weiss es nicht, ist aber sicherlich ein Versuch wert.
Gruss
Paul
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Der Anfang deiner Rechnung stimmt. Du mußt allerdings auch die Integrationsgrenzen substituieren. Nach der Substitution sind das 0 (unten) und [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] (oben). Die trigonometrische Identität, die du verwenden sollst, ist falsch, wie Paulus bereits festgestellt hat. Da das überhaupt kein Geheimnis und weiter auch nicht besonders schwierig ist, hier der korrekte Weg:
[mm]1 + \tan{t} = 1 + \frac{\sin{t}}{\cos{t}} = \frac{\sin{t} + \cos{t}}{\cos{t}}[/mm]
Der Zähler kann weiter umgeformt werden. Nach dem Additionstheorem des Cosinus gilt:
[mm]\cos{(t+a)} = \cos{a} \cos{t} - \sin{a} \sin{t}[/mm]
Und wenn man hier speziell [mm]a = - \frac{\pi}{4}[/mm] nimmt, folgt:
[mm]\cos{\left( t - \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{\frac{1}{2}} \, \cos{t} + \sqrt{\frac{1}{2}} \, \sin{t} \ \ \Leftrightarrow \ \ \sin{t} + \cos{t} = \sqrt{2} \, \cos{\left( t - \frac{\pi}{4} \right)}[/mm]
Daher gilt, wenn man ganz am Anfang weiterrechnet:
[mm]1 + \tan{t} = \frac{\sqrt{2} \, \cos{\left( t - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{t}}[/mm]
Das Integral kann jetzt berechnet werden:
[mm]\int_0^1~\frac{\ln{(1+x)}}{1 + x^2}~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\ln{\left( \frac{\sqrt{2} \, \cos{\left( t - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{t}} \right)}~\mathrm{d}t[/mm]
[mm]= \ \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\frac{1}{2} \ln{2}~\mathrm{d}t \ + \ \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\ln{\left( \cos{\left( t - \frac{\pi}{4} \right)} \right)}~\mathrm{d}t \ - \ \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\ln{(\cos{t})}~\mathrm{d}t[/mm]
Und hier heben sich die beiden hinteren Integrale gegenseitig weg, wie z.B. die Substitution [mm]t = \frac{\pi}{4} - s[/mm] beim ersten der beiden Integrale zeigt.
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Hallo,
danke für die Hilfe, und tschuldigung das ich die trigonometrische identität
falsch angegeben habe.
Aber ich sitze gerade in der Zeile:
$ = \ [mm] \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\frac{1}{2} \ln{2}~\mathrm{d}t [/mm] \ + \ [mm] \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\ln{\left( \cos{\left( t - \frac{\pi}{4} \right)} \right)}~\mathrm{d}t [/mm] \ - \ [mm] \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\ln{(\cos{t})}~\mathrm{d}t [/mm] $
Soweit bin ich auch gekommen(und bin ehrlich gesagt immer noch nicht weiter).
Die argumentation von Leopold_Gast, dass die letzten beiden Therme bei geeigneter Substitution wegfallen, kann ich leider nicht nachvollziehen, bzw denke ich das sie falsch ist(wenn ihr mich vom Gegenteil überzeugen könntet, würde ich mich freuen, weil dann wäre man ja wirklich fertig).
Aber wenn man mit $ t = [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] - s $ Substituiert, muss man ja alle t substituiren, also hat man ja davon nicht s mehr(also die letzten beiden Integrale heben sich ja dann nicht mehr auf).
Nach aufgabenstellung soll man ja jetzt das Integral $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{-a}^{-b}{f(-x) dx} [/mm] $
auf eine achsensymmetrische Funktion an.
Habe aber leider keine Ahnung wie ich das mache bzw wie ich es mit der Aufgabe dann auch noch in Verbindung bringen kann!
MFG
Nathenatiker
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hallo nathenatiker,
wenn du [mm] $s=t-\pi/4$ [/mm] substituierst, kommst du recht schnell zu dem, auch anschaulich, unvermeidlichen ergebnis, dass die beiden letzten integrale gleich sind.
VG
Matthias
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Und manche glauben erst, wenn sie sehen ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo,
nach dem graphischen Beispiel sehe ichs jetzt auch, aber wenn ich mit [mm] s=t-\pi/4 [/mm] substituire komme ich auf folgendes:
[mm] \integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{0}{0,5*ln(2) ds} [/mm] + [mm] \integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{0}{ln(cos(s)) ds} [/mm] - [mm] \integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{0}{ln(cos(s+\bruch{\pi}{4})) ds} [/mm]
Habe ich einen Fehler gemacht
, oder seh ich einfach nicht dass die letzten beiden Therme null ergeben????!!!!
kann mir jemand erklären warum das so ist?
für mich vor der Substution wie nach der Substitution!
MFG
Nathenatiker
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Wieso substituierst du in allen drei Integralen? Da machst du an anderem Ort zuschanden, was du am einen Ort als Vorteil erreicht hast. Nein - nur im mittleren Integral substituieren!
Wenn du die Substitution von MatthiasKr wählst, erhältst du in der Tat die neuen Grenzen [mm]- \frac{\pi}{4}[/mm] und [mm]0[/mm]. Und dann beachte die Symmetrie der Funktion [mm]x \mapsto \ln{(\cos{x})}[/mm].
Wenn du meinen Substitutionsvorschlag nimmst, bekommst du [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] als untere und [mm]0[/mm] als obere Grenze. Du kannst anschließend die Grenzen vertauschen, wenn du beim Integral das Vorzeichen änderst. Und beachte hier die für alle reellen [mm]x[/mm] gültige Beziehung [mm]\cos{(-x)} = \cos{x}[/mm].
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Hallo,
erst aml danke für die Hilfe!
jetzt nur noch mal zur Probe, ob das Formal jetzt auch wirklich richtig ist(nach deiner substitution):
$ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{ln(cos(t-\bruch{\pi}{4})) dt} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{\bruch{\pi}{4}}^{0}{ln(cos(-s+\bruch{\pi}{4})) ds} [/mm] $
dann gilt wegen [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}) [/mm] = [mm] \integral_{b}^{a}{f(-x) dx}
[/mm]
folgendes:
$ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{ln(cos(t-\bruch{\pi}{4})) dt} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{ln(cos(-(-s+\bruch{\pi}{4}))) ds} [/mm] $ =
$ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{ln(cos(t-\bruch{\pi}{4})) dt} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{ln(cos(s-\bruch{\pi}{4})) ds} [/mm] $ = 0
Hoffe das Stimmt jetzt.
MFG
Nathenatiker
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Eigentlich dachte ich, du wolltest das mittlere Integral durch Substitution vereinfachen. Jetzt aber substituierst du beim dritten Integral und verkomplizierst es. Meinetwegen - so geht es auch. Es kommt ja nur darauf an, die beiden Integrale als gleich zu erkennen.
Allerdings machst du dabei eine ganze Reihe von Fehlern, die sich alle auf das Vorzeichen auswirken, und die Begründungen stimmen auch nicht. Irgendwie heben sich dann die vielen Vorzeichenfehler gegenseitig weg.
Hier jetzt ausführlich die richtige Begründung. Um es noch einmal klar zu sagen: Ich substituiere jetzt wie du beim dritten Integral. Und dabei bleibt es dann auch!
Bei der Substitution [mm]t = \frac{\pi}{4} - s[/mm] gilt [mm]\mathrm{d}t = - \mathrm{d}s[/mm]. Und das war schon dein erster Fehler.
[mm]\ldots - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~\ln{(\cos{t})}~\mathrm{d}t[/mm]
[mm]= \ldots - \int_{\frac{\pi}{4}}^{0}~\ln{\left( \cos{\left( \frac{\pi}{4} - s \right)} \right)}~(- \mathrm{d}s)[/mm] (gemäß Substitution)
[mm]= \ldots + \int_{\frac{\pi}{4}}^{0}~\ln{\left( \cos{\left( \frac{\pi}{4} - s \right)} \right)}~\mathrm{d}s[/mm] (Vorzeichen zusammengefaßt)
[mm]= \ldots - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~\ln{\left( \cos{\left( \frac{\pi}{4} - s \right)} \right)}~\mathrm{d}s[/mm]
(Grenzen vertauscht; hat mit [mm]f(-x)=f(x)[/mm] rein gar nichts zu tun!)
[mm]= \ldots - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~\ln{\left( \cos{\left( s - \frac{\pi}{4} \right)} \right)}~\mathrm{d}s[/mm] (Regel [mm]\cos{(-u)} = \cos{u}[/mm])
Zur Übung empfehle ich dir, das mittlere Integral mit der Substitution zu behandeln und das dritte stehen zu lassen.
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