schwache Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mo 21.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Für [mm] n\in{\IN} [/mm] sei [mm] X_n [/mm] uniform verteilt auf [mm] \{1,2,...,n\}.
[/mm]
Gegen welches Wahrscheinlichkeitsmaß konvergiert die Verteilung von [mm] \bruch{X_n}{n} [/mm] schwach? Warum? |
Tag Leute,
schön, dass der Server wieder am Netzt hängt, ich hatte ja schon matheraum-Entzugserscheinungen :).
Okay also ich hab etwas Schwierigkeiten mit den Konvergenzaufgaben im Allgemeinen. Obige Aufgabe ist ja nun nicht von der schweren Sorte und als Einstieg wahrscheinlich ganz gut geeignet.
Wie geh ich hierbei nun vor bzw. mit was fang ich an?? Wär echt richtig klasse, wenn da jemand bisschen helfen könnte!
Vielen Dank schon mal!
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Hallo!
> Für [mm]n\in{\IN}[/mm] sei [mm]X_n[/mm] uniform verteilt auf [mm]\{1,2,...,n\}.[/mm]
> Gegen welches Wahrscheinlichkeitsmaß konvergiert die
> Verteilung von [mm]\bruch{X_n}{n}[/mm] schwach? Warum?
> Wie geh ich hierbei nun vor bzw. mit was fang ich an??
Nun, da die üblichen Konvergenzsätze nicht greifen (mir fällt gerade keiner ein), solltest du damit beginnen, die Verteilung von [mm] \frac{X_{n}}{n} [/mm] zu bestimmen.
[mm] \frac{X_{n}}{n} [/mm] ist uniform verteilt auf [mm] \{1/n,2/n,...,n/n =1\}.
[/mm]
Jetzt mal' dir das am besten mal auf einem Zahlenstrahl von 0 bis 1 auf.
Was passiert, wenn n größer wird, also die Unterteilungen des Zahlenstrahls kleiner?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 21.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielen Dank!!
D.h. wenn wir mal voraussetzen, dass X eine ZV ist mit [mm] X\sim{Unif([0,1])}, [/mm] dann ist für [mm] n\to{\infty} [/mm] die ZV [mm] \bruch{X_n}{n} [/mm] gerade gleich unserem X und damit gleichverteilt auf dem Intervall [0,1].
Oder anders ausgedrückt [mm] \lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t)=F_X(t)
[/mm]
Kann man das so sagen??
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Hallo,
> Vielen Dank!!
> D.h. wenn wir mal voraussetzen, dass X eine ZV ist mit
> [mm]X\sim{Unif([0,1])},[/mm] dann ist für [mm]n\to{\infty}[/mm] die ZV
> [mm]\bruch{X_n}{n}[/mm] gerade gleich unserem X und damit
> gleichverteilt auf dem Intervall [0,1].
>
> Oder anders ausgedrückt [mm]\lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t)=F_X(t)[/mm]
>
> Kann man das so sagen??
Ja, dem würde ich zustimmen 
Unsere Überlegungen sind ja schon so gut wie ein Beweis, aber dir sollte klar sein, dass du eigentlich eben gerade [mm] \lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t)=F_X(t) [/mm] zeigen musst, also
[mm] $\lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t) [/mm] = t$.
Es ist [mm] $F_{\bruch{X_n}{n}}(t) [/mm] = [mm] \frac{[t*n]}{n}$
[/mm]
(wobei [...] Gaußklammer zum Abrunden).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 22.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay stimmt da hast du recht!
Gut, ich versteh noch nicht ganz warum [mm] F_{\bruch{X_n}{n}}(t) [/mm] = [mm] \frac{[t\cdot{}n]}{n} [/mm] ist.
Könntest du da vielleicht noch kurz erklären wie du darauf kommst?
Oder sieht man das einfach, dass das so sein muss?
Und wie funktioniert dann die Grenzwertberechnung mit der Gaußklammer?
Herzlichen Dank für Erklärung schon mal.
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Hallo!
> Okay stimmt da hast du recht!
> Gut, ich versteh noch nicht ganz warum
> [mm]F_{\bruch{X_n}{n}}(t)[/mm] = [mm]\frac{[t\cdot{}n]}{n}[/mm] ist.
>
> Könntest du da vielleicht noch kurz erklären wie du
> darauf kommst?
> Oder sieht man das einfach, dass das so sein muss?
Nein, ich habe es nicht so einfach gesehen
Es ist aber
[mm] $F_{\frac{X_n}{n}}(t) [/mm] = [mm] P(\frac{X_n}{n}\le [/mm] t)$.
Nun nimmst du dir wieder deinen Zahlenstrahl von 0 bis 1 her und schaust, welche Werte [mm] \frac{X_n}{n} [/mm] annimmt (1/n, 2/n, ..., n/n=1) und zeichnest irgendwo dazwischen t ein.
Du siehst dann:
[mm] (\frac{X_n}{n}\le [/mm] t) ist die Menge [mm] \{1/n,2/n,...,k/n\}, [/mm] der Brüche $i/n [mm] \le [/mm] t$.
Nun muss man noch herausfinden, wieviele Brüche in der Menge sind ([t*n]), und alle haben ja Wahrscheinlichkeit 1/n.
> Und wie funktioniert dann die Grenzwertberechnung mit der
> Gaußklammer?
Ja, ich habe geraten
Wir mussten ja was rauskommen soll.
Man könnte es aber auch streng analytisch beweisen. Es ist ja so, dass [t*n]/n immer genauere Approximationen von t liefert, je größer n wird.
(Beispiel "abrunden": Nimmt man t = 0.1234, und nun:
[t*10]/10 = [1.234]/10 = 1/10 = 0.1
[t*100]/100 = [12.34]/100 = 12/100 = 0.12
usw.
)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Di 22.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Herzlichen Dank für die Antwort!!
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