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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Di 15.03.2005 | | Autor: | mdix |
hallo ihr lieben erst mal sorry wegen dem schroffen umgangaton vorhin und nun versuch ich die frage noch mal genauer zu fomulieren wäre toll wenn ihr mir helfen würdet!!!
also ich habe die gleichungen
y=3hoch(x+1)-3
y=2hoch(x+4)-4
und möchte die schnittpunkte dieser beiden kurven haben muss sie also gleichsetzen aber wie sähe der lösungsweg aus????
dh: die klammer ist die potenz kenne leider das hoch zeichen nicht!!!
danke!!!
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Du hast gegeben:
y=3^(x+1)-3
y=2^(x+4)-4
Um den Schnittpunkt zu erhalten setzt du diese gleich:
3^(x+1)-3=2^(x+4)-4 <=>
3^(x+1) - 2^(x+4) = -1 <=>
2^(x+4) - 3^(x+1) = 1 => Das Ganze logarithmieren:
(x+4)lg2-(x+1)lg3=lg1 <=>
xlg2 + 4lg2 - xlg3 - lg3 = 0 <=>
xlg2 - xlg3 = lg3 - 4lg2 <=>
x (lg2 - lg3) = lg3 - 4lg2 <=>
x = [mm]bruch{lg3 - 4lg2}{lg2 - lg3}[/mm] <=>
x = 4,13 (gerundet)
Ich hoffe, du kannst das soweit nachvollziehen. Zugrunde liegen diesem Lösungsvorgang die Regeln des Logarithmierens.
Bitte prüf den Rechenweg nach, bin mir nicht ganz sicher, ob alles so stimmt...
Gruß Isi
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Hallo!
Hast natürlich recht! Das geht so nicht. Weiß selbst grad nicht, wie ich darauf komme...
Da mach ich mich doch glatt mal eben zum Schwerverbrecher...
Gruß Isi
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Hallo mdix,
> also ich habe die gleichungen
>
> $y = [mm] 3^{x+1} [/mm] - 3$
>
> $y = [mm] 2^{x+4} [/mm] - 4$
>
> und möchte die schnittpunkte dieser beiden kurven haben
> muss sie also gleichsetzen aber wie sähe der lösungsweg
> aus????
Ich denke für dieses Problem gibt es keine algebraische Lösung. Die einfachste Methode hier schnell zu einer beliebig genauen Näherungslösung zu kommen, ist die Fixpunktiteration. Dazu machen wir folgende Umformungen:
[m]\begin{gathered}
3^{x + 1} - 3 = 2^{x + 4} - 4 \Leftrightarrow 3^x 3 = 2^{x + 4} - 1 \Leftrightarrow 3^x = \frac{{2^{x + 4} }}
{3} - \frac{1}
{3} \hfill \\
\Leftrightarrow e^{x\ln 3} = \frac{{2^{x + 4} }}
{3} - \frac{1}
{3} \Rightarrow x\ln 3 = \ln \left( {\frac{{2^{x + 4} }}
{3} - \frac{1}
{3}} \right) \hfill \\
\Rightarrow x_{i + 1} : = \frac{{\ln \left( {\frac{{2^{x_i + 4} }}
{3} - \frac{1}
{3}} \right)}}
{{\ln 3}} = \frac{{\ln \left( {2^{x_i + 4} - 1} \right) - \ln 3}}
{{\ln 3}} = \frac{{\ln \left( {2^{x_i + 4} - 1} \right)}}
{{\ln 3}} - 1 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Jetzt setzt Du in die rechte Seite der Gleichung einen guten Schätzwert ein für den Du annimmst, daß die Gleichung stimmen könnte. Den Wert, den Du damit rausbekommst, setzt Du dann wieder in die rechte Seite ein u.s.w. . Nach 7 Einsetzungen solltest Du schon eine Genauigkeit auf 2 Stellen hinter dem Komma erreicht haben. Die Fixpunktiteration funktioniert allerdings nicht für jeden Startwert.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mi 16.03.2005 | | Autor: | TomJ |
Ich würde mich dem anschließen, dass die Lösung algebraisch kaum in den Griff zu kriegen ist. Die umgeformte Funktion
[mm] f(x)=3*3^x-16*2^x+1 [/mm] lässt klar 2 Nullstellen erkennen.
Mit NEWTON-Verfahren:
X1 = -3.94428385931328
X2 = 4.1196506625598
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
*schüttel* *schauder*
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
[mm] $\log_b(x [/mm] - y) \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \log_b(x) [/mm] - [mm] \log_b(y)$ [/mm] !!!
