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| Aufgabe | | Zwei Funktionen g & f seien auf ganz IR definiert und hinreichend oft differenzierbar. Der Graph von f sei linksgekrümmt (konvex), der Graph von g rechsgekrümmt (konkav) auf ganz IR. Weiterhin gelte f(0) < g(0). Schneiden sich f & g? |
Hallo zusammen,
hat jemand gerade mal einen Tipp, wie man dazu ein Gegenbeispiel konstruieren könnte? Mir fallen nur solche Funktionen wie 1/x² und -1/x² ein, die sind aber für 0 nicht definiert.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zwei Funktionen g & f seien auf ganz IR definiert und
> hinreichend oft differenzierbar. Der Graph von f sei
> linksgekrümmt (konvex), der Graph von g rechsgekrümmt
> (konkav) auf ganz IR.
Das gefällt mir nicht ! Nicht der Graph ist konvex (konkav), sondern die Funktion.
> Weiterhin gelte f(0) < g(0).
> Schneiden sich f & g?
Hier sollte es lauten: Schneiden sich die Graphen von f und g.
Beispiele:
1. [mm] f(x)=x^2-1 [/mm] und g(x)=0. f ist konvex, g ist konkav und f(0)=-1<g(0)=0
Die Graphen schneiden sich !
2. f(x)=-1 und g(x)=0. f ist konvex, g ist konkav und f(0)=-1<g(0)=0
Die Graphen schneiden sich nicht !
Lautet die Aufgabe etwa so: f ist strikt konvex und (oder) g ist strikt konkav ?
Wenn ja, so beachte: ist f strikt konvex, so ist f''>0 auf [mm] \IR, [/mm] damit ist f' auf [mm] \IR [/mm] streng wachsend.
Ist g strikt konkav, so ist g''<0 auf [mm] \IR, [/mm] damit ist g' auf [mm] \IR [/mm] streng fallend.
FRED
> Hallo zusammen,
>
> hat jemand gerade mal einen Tipp, wie man dazu ein
> Gegenbeispiel konstruieren könnte? Mir fallen nur solche
> Funktionen wie 1/x² und -1/x² ein, die sind aber für 0
> nicht definiert.
>
> Danke!
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> > Zwei Funktionen g & f seien auf ganz IR definiert und
> > hinreichend oft differenzierbar. Der Graph von f sei
> > linksgekrümmt (konvex), der Graph von g rechsgekrümmt
> > (konkav) auf ganz IR.
>
> Das gefällt mir nicht ! Nicht der Graph ist konvex
> (konkav), sondern die Funktion.
>
>
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>
> > Weiterhin gelte f(0) < g(0).
> > Schneiden sich f & g?
>
> Hier sollte es lauten: Schneiden sich die Graphen von f und
> g.
Ok zu beidem. Das habe ich so (schlecht) umformuliert.
>
> Beispiele:
>
> 1. [mm]f(x)=x^2-1[/mm] und g(x)=0. f ist konvex, g ist konkav und
> f(0)=-1<g(0)=0
>
> Die Graphen schneiden sich !
>
> 2. f(x)=-1 und g(x)=0. f ist konvex, g ist konkav und
> f(0)=-1<g(0)=0
>
> Die Graphen schneiden sich nicht !
>
> Lautet die Aufgabe etwa so: f ist strikt konvex und (oder)
> g ist strikt konkav ?
>
Ja, so isses gemeint.
> Wenn ja, so beachte: ist f strikt konvex, so ist f''>0 auf
> [mm]\IR,[/mm] damit ist f' auf [mm]\IR[/mm] streng wachsend.
> Ist g strikt konkav, so ist g''<0 auf [mm]\IR,[/mm] damit ist g' auf
> [mm]\IR[/mm] streng fallend.
>
Jo, soweit war ich auch schon. Das heißt aber nicht, dass f' notwendig größer 0 ist oder g' kleiner 0, und auch das wäre ja noch kein hinreichendes Argument für einen gemeinsamen Punkt. Die Ableitungen können, wie bei den von mir angegebenen Beispielen, ja auch durch Asymptoten begrenzt sein. Wenn ich das ganze als Differenzenquotieten umschreibe, finde ich allerdings auch keine Gleichung die einen Schnitt notwendig machte. Wie gesagt: Ich vermute, es gibt ein Gegenbeispiel und ich stehe (da die Zeit ja gerade auch ziemlich drückt) auf dem Schlauch.
Trotzdem schonmal vielen Dank für Deine Kommentare!
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo karlhungus,
> Jo, soweit war ich auch schon. Das heißt aber nicht, dass
> f' notwendig größer 0 ist oder g' kleiner 0, und auch das
> wäre ja noch kein hinreichendes Argument für einen
> gemeinsamen Punkt. Die Ableitungen können, wie bei den von
> mir angegebenen Beispielen, ja auch durch Asymptoten
> begrenzt sein. Wenn ich das ganze als Differenzenquotieten
> umschreibe, finde ich allerdings auch keine Gleichung die
> einen Schnitt notwendig machte. Wie gesagt: Ich vermute, es
> gibt ein Gegenbeispiel und ich stehe (da die Zeit ja gerade
> auch ziemlich drückt) auf dem Schlauch.
Mit deiner Vermutung liegst du falsch.
Vereinfachen wir zunächst ein wenig die Situation: $h:=f-g$ erfüllt $h(0)<0$ und ist differenzierbar mit $h'$ streng monoton wachsend. Zu zeigen ist, dass h eine Nullstelle hat.
Wegen der Stetigkeit von h und $h(0)<0$ genügt es gemäß Zwischenwertsatz dazu, eine Stelle x mit [mm] $h(x)\ge [/mm] 0$ zu finden.
Im Falle [mm] $h'(0)\ge [/mm] 0$ behaupte ich, dass es eine solche Stelle $x>0$ gibt.
Im Falle $h'(0)<0$ behaupte ich, dass es eine solche Stelle $x<0$ gibt.
Diese beiden Behauptungen lassen sich schön am Graphen veranschaulichen.
Beweisen wir etwa die Behauptung im Falle [mm] $h'(0)\ge [/mm] 0$. Etwas blöd ist der Fall $h'(0)=0$. Aber es gilt wegen der strengen Monotonie von h' auf jeden Fall [mm] $m:=h'(1)>h'(0)\ge [/mm] 0$. Falls [mm] $h(1)\ge [/mm] 0$ ist, sind wir fertig, indem wir x=1 nehmen. Sei nun $h(1)<0$.
Wir werden ein $x>1$ finden mit [mm] $h(x)\ge [/mm] 0$. Die Idee dazu: Der Graph von h hat wegen der Monotonie von h' rechts der Stelle $x=1$ durchgängig eine Steigung [mm] $\ge [/mm] m>0$. Der Graph wird damit rechts von $x=1$ oberhalb der Geraden gegeben durch [mm] $x\mapsto [/mm] m(x-1)+h(1)$ verlaufen. Diese Gerade hat die Nullstelle [mm] $x:=\bruch{-h(1)}{m}+1>1$. [/mm] Also wird [mm] $h(x)\ge [/mm] 0$ für dieses x gelten.
Zum Beweis müssen wir von der Ableitung h' auf das globale Änderungsverhalten von h im Bereich 1 bis x schließen. Das Mittel der Wahl dazu lautet: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung. Was sagt der Mittelwertsatz unserem Fall für h an den Stellen 1 und x?
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Do 15.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Nimm zwei Parabeln. Es sollten nicht beide Scheitel bei x = 0 liegen.
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