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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Mo 01.02.2010 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Sei A eine invertierbare quadratische Matrix. Beweise: Ist A schiefsymmetrisch, so ist auch [mm] A^{-1} [/mm] schiefsymmetrisch. |
Hallo, ich habe mich an diesem Beweis versucht, bin mir aber nicht sicher ob der so richtig ist.
Also: A ist invertierbar, dann gilt [mm] AA^{-1}=E_n
[/mm]
und A ist schiefsymmetrisch, also gilt ferner [mm] A=-A^T
[/mm]
zu zeigen: [mm] A^{-1}=-{(A^{-1})}^T
[/mm]
mein Ansatz wäre dann:
[mm] -{(AA^{-1})}^T=(E_n)^T [/mm] geht das?
[mm] \gdw -({(A^{-1})}^TA^T)=(E_n)^T
[/mm]
[mm] \gdw (-(A^{-1})^T)(-A^T)=(E_n)^T
[/mm]
[mm] \gdw (-(A^{-1})^T)(A)=(E_n) [/mm] wegen der Schiefsymmetrie von A, kann ich das aber alles mit der Einheitsmatrix überhaupt machen?
[mm] \gdw (-(A^{-1})^T)(AA^{-1})=(E_n)A^{-1} [/mm] n.V. (oben)
[mm] \gdw (-(A^{-1})^T)=A^{-1} [/mm] q.e.d
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> Sei A eine invertierbare quadratische Matrix. Beweise: Ist
> A schiefsymmetrisch, so ist auch [mm]A^{-1}[/mm] schiefsymmetrisch.
> Hallo, ich habe mich an diesem Beweis versucht, bin mir
> aber nicht sicher ob der so richtig ist.
> Also: A ist invertierbar, dann gilt [mm]AA^{-1}=E_n[/mm]
> und A ist schiefsymmetrisch, also gilt ferner [mm]A=-A^T[/mm]
> zu zeigen: [mm]A^{-1}=-{(A^{-1})}^T[/mm]
> mein Ansatz wäre dann:
> [mm]-{(AA^{-1})}^T=(E_n)^T[/mm] geht das?
> [mm]\gdw -({(A^{-1})}^TA^T)=(E_n)^T[/mm]
> [mm]\gdw (-(A^{-1})^T)(-A^T)=(E_n)^T[/mm]
>
> [mm]\gdw (-(A^{-1})^T)(A)=(E_n)[/mm] wegen der Schiefsymmetrie
> von A, kann ich das aber alles mit der Einheitsmatrix
> überhaupt machen?
> [mm]\gdw (-(A^{-1})^T)(AA^{-1})=(E_n)A^{-1}[/mm] n.V. (oben)
> [mm]\gdw (-(A^{-1})^T)=A^{-1}[/mm] q.e.d
Dein Ansatz hat vermutlich einen Vorzeichenfehler:
Die Aussage [mm]-{(AA^{-1})}^T=(E_n)^T[/mm] heißt ja, dass Die Einheitsmatrix gleich der Einheitsmatrix mal minus eins ist, und das kann nicht sein. Aber der Beweis funktioniert trotzdem, denn von Zeile 2 auf Zeile 3 hast Du das Minus zweimal in die Klammer multipliziert. Einmal würde auch reichen... soweit ich es beurteilen kann, fressen sich die beiden Fehler gegenseitig weg, so dass der Beweis stimmt, wenn du sie beide korrigierst.
Viele Grüße
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