schiefsymm. Matrizen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Matrix [mm] $A\in M_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{n\times n}$ [/mm] heißt schiefsymmetrisch, falls [mm] $A^T=-A$.
[/mm]
Wir betrachten O(n) (orthogonale Matrizen) als Untermannigfaltigkeit von [mm] $\mathbb{R}^{n\times n}$.
[/mm]
a) Sei [mm] $c:(-\epsilon,\epsilon)\to [/mm] O(n)$ glatt und [mm] $c(0)=E_n$ [/mm] (Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass $c'(0)$ schiefsymmetrisch ist.
b) Sei [mm] $A\in M_n(\mathbb{R}$ [/mm] schiefsymmetrisch. Zeigen Sie, dass dann [mm] $e^{tA}$ [/mm] für alle [mm] $t\in\mathbb{R}$ [/mm] orthogonal ist. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
zu a): Ich kann den Umkehrsatz benutzen und dann den Satz über implizite Funktionen anwenden. Doch sehe ich nicht recht, ob das tatsächlich hilft.
zu b): Um zu zeigen, dass [mm] $e^{tA}$ [/mm] orthogonal ist, muss [mm] $(e^{tA})^T(e^{tA})=E_n$ [/mm] gelten.
Es ist [mm] $(e^{tA})^T(e^{tA})=e^{t(A^T)}e^{tA}=e^{-tA}e^{tA}$, [/mm] da A schiefsymmetrisch.
Dann ist [mm] $e^{(t-t)A}=e^{0}=E_n$, [/mm] wobei $0$ hier die Null-Matrix bezeichnet.
Hat jemand einen Tipp für die a)?
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mo 04.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Eine Matrix [mm]A\in M_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{n\times n}[/mm]
> heißt schiefsymmetrisch, falls [mm]A^T=-A[/mm].
> Wir betrachten O(n) (orthogonale Matrizen) als
> Untermannigfaltigkeit von [mm]\mathbb{R}^{n\times n}[/mm].
>
> a) Sei [mm]c:(-\epsilon,\epsilon)\to O(n)[/mm] glatt und [mm]c(0)=E_n[/mm]
> (Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass [mm]c'(0)[/mm] schiefsymmetrisch
> ist.
>
> b) Sei [mm]A\in M_n(\mathbb{R}[/mm] schiefsymmetrisch. Zeigen Sie,
> dass dann [mm]e^{tA}[/mm] für alle [mm]t\in\mathbb{R}[/mm] orthogonal ist.
>
> c) Folgern Sie: [mm]T_{E_n}^{u} O(n)[/mm] ist der Raum aller
> schiefsymmetrischen Matrizen in [mm]M_n(\mathbb{R})[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> zu a): Ich kann den Umkehrsatz benutzen und dann den Satz
> über implizite Funktionen anwenden. Doch sehe ich nicht
> recht, ob das tatsächlich hilft.
Nutze aus, dass $c$ in die Menge der orthogonalen Matrizen abbildet: d.h. betrachte [mm] $c(t)(c(t))^{T}$.
[/mm]
>
>
> zu b): Um zu zeigen, dass [mm]e^{tA}[/mm] orthogonal ist, muss
> [mm](e^{tA})^T(e^{tA})=E_n[/mm] gelten.
>
> Es ist [mm](e^{tA})^T(e^{tA})=e^{t(A^T)}e^{tA}=e^{-tA}e^{tA}[/mm],
> da A schiefsymmetrisch.
>
> Dann ist [mm]e^{(t-t)A}=e^{0}=E_n[/mm], wobei [mm]0[/mm] hier die Null-Matrix
> bezeichnet.
O.K.
>
> Hat jemand einen Tipp für die a)?
> Vielen Dank im voraus.
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> Nutze aus, dass $ c $ in die Menge der orthogonalen Matrizen abbildet: d.h. betrachte $ [mm] c(t)(c(t))^{T} [/mm] $.
Also [mm] $c(t)c(t)^T=E_n=c(0)$
[/mm]
Und nun differenzieren?
Edit:
Ich glaube ich habe es (Edit2: Nein, ist Quatsch... Ich habe gerade irgendwie [mm] E_n [/mm] mit der Nullmatrix verwechselt...)
[mm] $c'(0)=c'(t)c(t)^T+c(t)c'(t)^T=E_n$
[/mm]
Also gilt [mm] $c'(t)c(t)^T=-c(t)c'(t)^T$
[/mm]
Dann ist [mm] $(c'(t)^T)^Tc(t)^T=-c(t)c'(t)^T$
[/mm]
Also [mm] $c(t)c'(t)^T=-c(t)c'(t)^T$ [/mm]
Unter Ausnutzung von [mm] $(AB)^T=B^TA^t$[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:42 Di 05.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Aus [mm] c(t)c(t)^T=E_n [/mm] folgt durch Differentiation:
[mm] c'(t)c(t)^T+c(t)c'(t)^T=0.
[/mm]
Mit t=0 bekommen wir
[mm] c'(0)c(0)^T+c(0)c'(0)^T=0.
[/mm]
Wegen [mm] c(0)=E_n=c(0)^T [/mm] ergibt sich dann was ?
FRED
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Ach, natürlich. So erhält man leicht das was zu zeigen ist.
Ich hatte da auch gestern mich verschrieben und mein zweiter Edit war falsch. Nach dem ableiten habe ich natürlich die Nullmatrix und nicht mehr die Einheitsmatrix.
Man erhält [mm] $c'(0)=-c'(0)^T$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Di 05.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ach, natürlich. So erhält man leicht das was zu zeigen
> ist.
> Ich hatte da auch gestern mich verschrieben und mein
> zweiter Edit war falsch. Nach dem ableiten habe ich
> natürlich die Nullmatrix und nicht mehr die
> Einheitsmatrix.
>
> Man erhält [mm]c'(0)=-c'(0)^T[/mm]
So ist es.
FRED
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