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| Aufgabe | Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
[mm] z^3+j=0 [/mm] |
Hallo, nach mehreren versuchen bekomme ich bei dieser Aufgabe falsche Lösung raus und hoffe auf Tipps.
mein Ansatz:
[mm] z^3=-j
[/mm]
[mm] z=\wurzel[3]{3}
[/mm]
-j liegt im negativen Bereich auf x=0, y=-1 imaginären Achse und bildet 270° also [mm] \bruch{3}{2}\pi
[/mm]
Moivre-Formel:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $
eingesetzt:
$ [mm] z_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\bruch{3}{2}\pi+0\cdot{}2\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\bruch{3}{2}\pi+0\cdot{}2\pi}{3}\right)\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $
was habe ich nicht beachtet?
gruß Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Alex,
> Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
>
> [mm]z^3+j=0[/mm]
> Hallo, nach mehreren versuchen bekomme ich bei dieser
> Aufgabe nicht die richtige Lösung raus und hoffe auf
> Tipps.
>
> mein Ansatz:
>
> [mm]z^3=-j[/mm]
>
> [mm]z=\wurzel[3]{3}[/mm]
Tippfehler [mm] z=\wurzel[3]{\red{-j}}
[/mm]
> -j liegt im negativen Bereich auf x=0, y=-1 imaginären
> Achse und bildet 270° also [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm]
>
> Moivre-Formel:
>
> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]
>
> eingesetzt:
>
> [mm]z_1 \ = \ \wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\bruch{3}{2}\pi+0\cdot{}2\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\bruch{3}{2}\pi+0\cdot{}2\pi}{3}\right)\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]
>
> was habe ich nicht beachtet?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") alles korrekt - nun nach der Reihe k=0,1,2 einsetzen und ausrechnen.
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Fr 29.01.2010 | | Autor: | capablanca |
Ich habe die richtige Lösung raus bekommen 
danke!
gruß Alex
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