runder Pythagoras S136, Nr22 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Di 08.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Pythagoras mit Halbkreisen
eine Abb.: ein rechtwinkliges Dreieck, aber nicht mit Quadraten (wie beim Pythagoras), sondern Halbkreise, die auf den Seiten hocken, d.h. die Seiten a,b u. c sind die Durchmesser.
a) Vgl. die Abb. mit der Pythagorasfigur. Formuliere dann den Satz des Pythagors passend zur Abb. um. Hat er Gültigkeit?
b) Kannst du die Beobachtung aus a) allg. begründen? |
Guten Abend,
runder Pythagoras - interessant.
Ich will ausprobieren, ob der runde dem quadratischen identisch ist.
Ich wählte
a= 4
b= 5
c= 6,4
Die Flächen der Kreise jeweils halbiert komme ich auf
[Dateianhang nicht öffentlich]
Fazit:
Beantwortg. a)
Der "rundliche" Pythagors hat keine Gültigkeit. Er kommt dem eigentl. Satz des Pythagoras sehr nahe, aber es gibt doch Abweichungen (wenn auch gering), d.h. es stimmt nur der alt bekannte Satz des Pythagoras.
Würdet ihr das auch so sehen?
Frage b)
Kannst du die Beobachtung aus a) allg. begründen?
Hä wie jetzt? Das habe ich doch eben mit Zahlen u. der Gleichung gezeigt?
Trotzdem ein versuchter zaghafter Ansatz:
Ein Kreis, der von einem Quadrat umhüllt ist (Kreisbogen berührt jeweils immer die Mitte einer Seite) - die Fläche des Quadrats ist größer als die des Kreises.
Das erklärt zumindest die Abweichung (am Bsp a=4) von
6,28 zu 16
Das wars - weiter weiß ich nicht.
Was wollen die da wissen? Könnt ihr mich auf die Spur bringen?
Ihr könnt das bestimmt, deswegen sage ich schon mal im voraus vielen DANK, für den der sich die Mühe macht u. schreibt. DANKE
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mi 09.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Giraffe
Deine Rechnung stimmt leider nicht so. es liegt an dem zu früh gerundeten c
rechne wirklich mit [mm] c=\wurzel{41} [/mm] du quadrierst ja wieder also [mm] (c/2)^2=41/4=10,25 (6,4/2)^2=10,24 [/mm] besser du nimmst das bekannteste Pythagorasdreieck 3, 4, 5
sieh dir deine erste Gleichung genau an
vergleich sie mit [mm] a^2+b^2=c^2
[/mm]
wodurch unterscheiden sich die 2 Gleichungen?
fällt dir was auf? Das solltest du in b) sagen.
Zusatz mal über jeder der seiten eine Giraffe, entsprechend der Seitengröße, aber sie müssen schon 100% ähnlich sein. Meine Behauptung auch da gilt Giraffenfäche 1+ Giraffenfäche 2=Giraffenfäche 3
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hi leduart,
(konnte gestern nicht online gehen (mein PC zickt mal wieder)
DANKE für deine Antw., denn ich habs - u. ich bin total happy!!!
Aber eigentlich doch mehr fasziniert.
Damals in der Schule habe ich den Satz des Pythagoras schon bestaunt. Es hat mich einfach regelrecht fasziniert, wie die beiden kl. Quadrate zus. gleich gr. sind wie das größte Quadrat. Und jetzt geht das auch noch mit allen anderen Figuren, wenn sie denn 100%ig ähnlich sind.
Aber warum ist das so? Das wollte die Aufg. ja wissen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber warum ist das so?
Der rundliche (3-eckige, girafflicher u. "jeder andere" Pythagoras auch) hat genauso Gültigkeit wie unserer bekannter quadratische, WEIL es sich lediglich um eine Äquivalenzumformung handelt.
Eine Äquivalenzumformung ändert nicht das Verhältnis der linken Seite der Gleichung zu der rechten Seite der Gleichung. Das Verhältnis bleibt erhalten.
An diese Begründung habe ich jetzt 2 Tage festgehalten u. auf sie geschworen. Sie ist auch sicher richtig, aber evtl. als Begründg. noch zu schwach.
Vielleicht hats was zu tun mit linear?
(bitte nicht hauen, weil wir vor kurzem grad drüber gesprochen haben u. das hier nun vllt. falsch ist).
Oder es steckt irgendwas Proportionales drin? Nur eben nicht in Bezug auf eine Funktion, sondern im Zus.hang mit einer Gleichung - wenn es das denn gibt.
Oder soll ich beim Äquivalenten bleiben u. muss das nicht weiter begründen u. fertig?
Ich hoffe ich kann nochmal auf eine Antw. von dir hoffen. Oder es ist ein anderer da, der antw.
Schönes Wochenende dir leduart u. allen anderen auch
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Bei einer Streckung mit dem Faktor [mm]\lambda > 0[/mm] nehmen
Längen den Faktor [mm]\lambda[/mm]
Flächeninhalte den Faktor [mm]\lambda^2[/mm]
Rauminhalte den Faktor [mm]\lambda^3[/mm]
auf (wird z.B. die Seitenlänge eines Quadrates verdreifacht, so verneunfacht sich der Flächeninhalt).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man kommt nun mit dem Streckfaktor [mm]\lambda = \frac{b}{a}[/mm] von [mm]a[/mm] nach [mm]b[/mm], d.h. [mm]b = \lambda a[/mm], also kommt man mit [mm]\lambda^2 = \frac{b^2}{a^2}[/mm] von Wolke a nach Wolke b, d.h.
[mm]W(b) = \frac{b^2}{a^2} \cdot W(a)[/mm]
Ganz genauso zeigt man
[mm]W(c) = \frac{c^2}{a^2} \cdot W(a)[/mm]
Und jetzt muß man das nur zusammensetzen und dabei [mm]a^2 + b^2 = c^2[/mm] verwenden:
[mm]W(a) + W(b) = W(a) + \frac{b^2}{a^2} \cdot W(a) = \left( 1 + \frac{b^2}{a^2} \right) \cdot W(a) = \frac{a^2 + b^2}{a^2} \cdot W(a) = \frac{c^2}{a^2} \cdot W(a) = W(c)[/mm]
Voilà!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag
...
> Ich hoffe ich kann nochmal auf eine Antw. von dir hoffen.
> Oder es ist ein anderer da, der antw.
> Schönes Wochenende dir leduart u. allen anderen auch
>
Solange Du eine Fläche berechnest, deren Größe nur von einer Strecke abhängt - und Du diese Strecke als Dreiecksseite eines rechtwinkligen Dreiecks benutzt - gilt der Pythagoras.
Bei den Kreisen benutzt Du den Durchmesser als Strecke, von der die Kreisfläche abhängt.
Ich habe für Dich einmal einen Nusseckenpythagoras aus lauter gleichseitigen Dreiecken konstruiert. Wenn eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks die Länge s hat, dann ist die Fläche:
[mm] $A_{\Delta}=\dfrac14 \cdot \sqrt{3} \cdot s^2$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Größen der Einzelflächen findest Du in den kleinen Kästchen. Und dass der Pythagoras gilt, kannst Du leicht selbst überprüfen.
Gruß
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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[Dateianhang nicht öffentlich]
> dass der Pythagoras gilt, kannst Du leicht
> selbst überprüfen.
... es ist aber 35.07+62.35 [mm] \not= [/mm] 97.43 
(auf ähnliche Weise hat Giraffe vorher gezeigt, dass
der "Halbkreis-Pythagoras" eben nicht gilt !)
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Pappus |
Hallo,
touché!
Leider kann DynaGeo einen Wert wie [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] nicht als Zeichenfolge darstellen.
Aber mit der angegebenen Flächenformel für gleichseitige Dreiecke und den Seitenlängen 9, 12, 15 müsste es möglich sein, den Nusseckenpythagoras nachzuweisen.
Gruß
Pappus
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Natürlich kann man den "Nußeckenpythagoras" mit der Dreiecksflächenformel nachweisen. Wie man für beliebige ähnliche Figuren über den Dreiecksseiten argumentieren muß, zeigt mein Beweis, der die Situation der gleichseitigen Dreiecke als Spezialfall gleich mit enthält.
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> Natürlich kann man den "Nußeckenpythagoras" mit der
> Dreiecksflächenformel nachweisen. Wie man für beliebige
> ähnliche Figuren über den Dreiecksseiten argumentieren
> muß, zeigt mein Beweis, der die Situation der
> gleichseitigen Dreiecke als Spezialfall gleich mit
> enthält.
Hallo Leo,
das war uns allen (oder doch wenigstens fast allen)
doch eh schon klar.
Danke dir aber für die hübsche Wölkchen-Grafik 
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Guten Abend an alle,
dann bin ich die einzige, die noch lange nicht alles versteht.
Fühle mich geschmeichelt, dass Menschen mit soviel Mathe Know-how
MIR helfen.
All dem, was ihr dazu schreibt, darf ich dann wohl entnehmen, dass der rundliche Pyhthagoras (der wolkige usw.) nichts zu tun hat mit linear, nichts zu tun hat mit proportional u. die entscheidene Begründung auch nicht das Äquivalente ist.
Leopold_Gast hat zu Beginn den Begriff der Streckung genannt. Und die Tage über ist mir noch eingefallen, dass es vermutl. zu tun hat mit dem Strahlensatz, bzw. der daraus entstehenden Ähnlichkeiten.
Ich kann die Strahlensätze nicht - habe nur Bilder im Kopf.
Dennoch glaube ich muss ich morgen den Beweis (od. Nachweis?) von Leopold_Gast mal richtig studieren.
Wollte jetzt nur Bescheid sagen, ihr habt alle schon vor ein paar Tagen geantw. u. ich darauf noch nicht reagiert. Es ist keineswegs umsonst -morgen werde ich mich dem intensiv widmen.
DANKE an alle!
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> Guten Abend an alle,
> dann bin ich die einzige, die noch lange nicht alles
> versteht.
> Fühle mich geschmeichelt, dass Menschen mit soviel Mathe
> Know-how
> MIR helfen.
> All dem, was ihr dazu schreibt, darf ich dann wohl
> entnehmen, dass der rundliche Pyhthagoras (der wolkige
> usw.) nichts zu tun hat mit linear, nichts zu tun hat mit
> proportional u. die entscheidene Begründung auch nicht das
> Äquivalente ist.
> Leopold_Gast hat zu Beginn den Begriff der Streckung
> genannt. Und die Tage über ist mir noch eingefallen, dass
> es vermutl. zu tun hat mit dem Strahlensatz, bzw. der
> daraus entstehenden Ähnlichkeiten.
> Ich kann die Strahlensätze nicht - habe nur Bilder im
> Kopf.
> Dennoch glaube ich muss ich morgen den Beweis (od.
> Nachweis?) von Leopold_Gast mal richtig studieren.
> Wollte jetzt nur Bescheid sagen, ihr habt alle schon vor
> ein paar Tagen geantw. u. ich darauf noch nicht reagiert.
> Es ist keineswegs umsonst -morgen werde ich mich dem
> intensiv widmen.
> DANKE an alle!
Hallo Giraffe,
zur Hilfe nur noch eine einfache Analogie:
Wenn du von einem rechteckigen Blatt vom Format
[mm] L\times{B} [/mm] (Länge L, Breite B) und dem Flächeninhalt
$\ A=L*B$ eine Kopie mit dem Zoomfaktor f machst, so
hat diese Kopie das Format [mm] (f*L)\times{(f*B)} [/mm] .
Ihr Flächeninhalt ist dann also
$\ [mm] A_{Kopie}= [/mm] (f*L)* (f*B)\ =\ [mm] f^2*A$
[/mm]
Ganz allgemein werden bei dieser Zoom-Abbildung
(geometrisch gesehen eine zentrische Streckung)
alle Längen (Streckenlängen, aber z.B. auch Kreis-
umfänge und andere Kurvenlängen) mit dem Streck-
faktor f multipliziert, alle Flächeninhalte aber mit
dem Faktor [mm] f*f=f^2.
[/mm]
Ist also auf dem Originalblatt irgendeine ebene
Figur mit einem Flächeninhalt [mm] A_{Original} [/mm] gezeichnet,
so wird diese auf eine Bildfigur abgebildet, deren
Flächeninhalt gleich [mm] f^2*A_{Original} [/mm] ist.
LG Al-Chw.
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