richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Sa 31.05.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass alle Richtungsableitungen der Funktion existieren:
[mm] f(x,y)=xy^3/x^2+y^6, [/mm] (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
f(x,y)=0, (x,y)=(0,0) |
Hi zusammen ^^
ich hab vorhin versucht die Funktion wie unten mit der klammer zu definieren aber funktionierte nicht wie geplant -.-in der Woche wurd in meiner Abwesenheit die Richtungsableitung eingeführt, hab mir die Def. durchgelesen, nur mein Problem bei dieser Aufgabe ist, ich weiß nicht wie ich daran gehen soll. Hab iwo gelesen wenn f total differenzierbar ist darf man den gradienten anwenden; is die hier aber net. Und mit dem "alle Richtungsableitungen" damit hab ich jetz gerad auch ein paar Probleme...... Dimmt man sich dann einen bel. Vektor v, normiert den? Ich hab hier leider kein plan -.-
Danke schonmal für Hilfe
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Hallo eumel,
> Zeigen sie, dass alle Richtungsableitungen der Funktion
> existieren:
> [mm]f(x,y)=xy^3/x^2+y^6,[/mm] (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0)
> f(x,y)=0, (x,y)=(0,0)
Lautet die Funktion so:
[mm]f\left(x,y\right)=\left\{\begin{matrix}{\bruch{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}}, & \left(x,y\right) \not= \left(0,0\right) \\ 0, & \left(x,y\right)\end{matrix}\right[/mm]
> Hi zusammen ^^
> ich hab vorhin versucht die Funktion wie unten mit der
> klammer zu definieren aber funktionierte nicht wie geplant
> -.-in der Woche wurd in meiner Abwesenheit die
> Richtungsableitung eingeführt, hab mir die Def.
> durchgelesen, nur mein Problem bei dieser Aufgabe ist, ich
> weiß nicht wie ich daran gehen soll. Hab iwo gelesen wenn f
> total differenzierbar ist darf man den gradienten anwenden;
> is die hier aber net. Und mit dem "alle
> Richtungsableitungen" damit hab ich jetz gerad auch ein
> paar Probleme...... Dimmt man sich dann einen bel. Vektor
> v, normiert den? Ich hab hier leider kein plan -.-
Für die Richtungsableitung nimm einen Vektor [mm]v = \pmat{v_{1} \\ v_{2}} \in \IR^{2}, v \not=0[/mm] und betrachte hier den Grenzwert
[mm]\limes_{h \rightarrow 0}{\bruch{f\left(x_{0}+h*v_{1},y_{0}+h*v_{2}\right) - f\left(x_{0},y_{0}\right)} {h}}[/mm]
mit [mm]\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(0,0\right)[/mm]
> Danke schonmal für Hilfe
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 31.05.2008 | | Autor: | eumel |
[mm] \bruch{f(h*v_{1},h*v_{2})-f(0,0)}{h} [/mm] = ... = [mm] \bruch{h(v_{1}v_{2}^3}{v_{1}^2+h^4v_{2}^6} [/mm] --(h-->0)-->0
wieso reicht es hier das zu zeigen?
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> [mm]\bruch{f(h*v_{1},h*v_{2})-f(0,0)}{h}[/mm] = ... =
> [mm]\bruch{h(v_{1}v_{2}^3}{v_{1}^2+h^4v_{2}^6}[/mm] --(h-->0)-->0
>
> wieso reicht es hier das zu zeigen?
Ich ziehe es vor, die Richtungsableitung mittels [mm] $x=r\cos(\varphi)$, $y=r\sin(\varphi)$ [/mm] für konstant gehaltenes [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ zu bestimmen. Dann erhält man:
[mm]\frac{f(x,y)-f(0,0)}{r}=\frac{\frac{r\cos(\varphi)\cdot r^3\sin^3(\varphi)}{r^2\cos^2(\varphi)+r^6\sin^6(\varphi)}}{r}=\frac{r\cos(\varphi)\cdot \sin^3(\varphi)}{\cos^2(\varphi)+r^4\sin^6(\varphi)}[/mm]
Ist [mm] $\cos(\varphi)=0$, [/mm] so ist offenbar der Zähler dieses Bruches für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ konstant $0$ und daher auch sein Grenzwert $0$.
Ist aber [mm] $\cos(\varphi)\neq [/mm] 0$, so ist jedenfalls der Nenner für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ stets konstant und $>0$: nur der Zähler geht gegen $0$. Also ist auch in diesem Falle der Grenzwert gleich $0$.
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