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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 26.06.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich möchte das Integral: [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x}} [/mm] berechnen.
Aber mir sind dabei einige Schritte nicht ganz klar.
Man betrachtet zunächst die Funktion [mm] f(z)=\bruch{e^{iz}}{z} [/mm] und integriert diese über einen geschlossenen Weg w. w um läuft den Rand einer Halbschale um den Punkt 0. D.h:
w=w1+w2+w3+w4
mit: [mm] w1:=[0,\pi]\to\IR [/mm] mit [mm] w1=Re^{it}
[/mm]
[mm] w2:=[-R,-r]\to\IR [/mm] mit w2=t
[mm] w3:=[\pi,0]\to\IR [/mm] mit [mm] w3=re^{it}
[/mm]
[mm] w4:=[r,R]\to\IR [/mm] mit w4=t
Dabei ist r<R und man lässt im Limes [mm] r\to0 [/mm] und [mm] R\to\infty [/mm] gehen.
Meine Frage ist:
Das Integral über den gesamten Weg w ist Null (lässt sich mit dem Cauchy-Integralsatz begründen, oder??).
Für das Integral über den kleinen Kreis, also w3 soll [mm] -i\pi [/mm] heraus kommen, d.h.:
[mm] \integral_{\pi}^{0}{\bruch{e^{z}}{z}dz}=-i\pi
[/mm]
Mit ist nicht klar, wie man auf [mm] -i\pi [/mm] kommt??
Vielen Dank für die Hilfe!
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Bitte den Integrationsweg genau mitteilen, entweder mittels Zeichnung oder durch genaue Beschreibung der Stücke (Kreisbogen um ... von ... bis ..., Strecke von ... bis ... usw.). "Halbschale" ist ein ohne zusätzliche Angaben nicht verständlicher ad-hoc-Begriff.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mo 26.06.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich hoffe ich hab meine "Halbschale" im obigen Text jetzt gut angegeben!
Viele Grüße
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Guten Morgen!
Nun ja, das Wegintegral kann man ja einfach ausrechnen. Per Definition ist für einen Weg [mm] $\gamma$ [/mm] das Wegintegral einer Funktion $f$ entlang [mm] $\gamma$ [/mm] definiert als
[mm] $\int_\gamma [/mm] f(z) dz = [mm] \int_a^b f\big(\gamma(t)\big) \gamma'(t) [/mm] dt$
Hierbei nehme ich an, dass [mm] $\gamma$ [/mm] auf dem Intervall $[a,b]$ parametrisiert ist.
Im konkreten Fall ist der Weg gegeben durch [mm] $w_3(t) [/mm] = [mm] re^{it}$ [/mm] parametrisiert auf [mm] $[\pi,0]$.
[/mm]
Die Funktion $f$ ist $f(z) = [mm] \frac{e^z}{z}$. [/mm] Und [mm] ${w_3}'(t) [/mm] = [mm] ire^{it}$, [/mm] ist die Ableitung des Weges nach $t$. Alles zusammen ergibt:
[mm] $\int_{w_3}f(z) [/mm] dz= [mm] \int_\pi^0 \frac{e^{w_3(t)}}{w_3(t)} \cdot w_3'(t) [/mm] dt = [mm] \int_\pi^0 \frac{e^{re^{it}}ire^{it}}{re^{it}}dt [/mm] = [mm] \int_\pi^0 ie^{w_3(t)} [/mm] dt$
Das $i$ kannst Du aus dem Integral herausziehen. Wenn Du jetzt $r [mm] \to [/mm] 0$ gehen läßt, dann konvergiert [mm] $w_3(t)$ [/mm] für alle $t$ gegen 0 und aufgrund der Stetigkeit von $f$ konvergiert der Integrand gegen 1. So erklärt sich das $- [mm] \pi$ [/mm] (man beachte, wie herum alles parametrisiert ist!).
Mit anderen Worten: einsetzen, ausrechnen, glücklich sein. 
Alles klar?
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 27.06.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Erst mal danke für die Antwort.
Aber bei dieser Variante vertausche ich doch eine Grenzwertprozess mit einem Integral und dies ist doch erst mal nur möglich, wenn es eine Folge von Funktionen gibt, die gegen die Funktion f(z) gleichmässig konvergiert, oder?
Gibt es denn solch eine Funktionenfolge?
Viele Grüße
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Grüße!
Du hast natürlich recht, die Vertauschung von Limes und Integral bedarf näherer Erläuterung. Aber in diesem Fall geht das alles mit rechten Dingen zu, denn die Konvergenz ist gleichmäßig:
Im Prinzip geht es ja um den Limes [mm] $\lim_{r \to 0} [/mm] f(t)$, wobei $f(t) = [mm] re^{it}$.
[/mm]
Per Definition ist dies äquivalent dazu, eine beliebige Nullfolge [mm] $(a_n)$ [/mm] zu betrachten und dazu [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n e^{it}$ [/mm] anzusehen. Dieser geht gleichmäßig, d.h. unabhängig von $t$ gegen 0: gegeben ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, dann gibt es ein $N$, so dass für alle $n [mm] \geq [/mm] N$ der Betrag der Folge kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist und zwar unabhängig von $t$. Das ist ganz klar, da im Betrag die Abhängigkeit von $t$ ganz verschwindet, denn es gilt ja [mm] $|e^{it}| [/mm] = 1$ für alle $t$.
Daher ist die betrachtete Konvergenz gleichmäßig und deshalb darf der Limes ins Integral gezogen werden.
Aber gut, dass Du es anmerkst, da hätte ich jetzt gar nicht so drauf geachtet... Macht der Gewohnheit. 
Alles klar?
Lars
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