relatives/absolutes extrema < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
mich würde mal interessieren was dies genau ist.
also die lokalen extremas sind mir bekannt , doch wie kann ich bestimmen ob zb. ein lokal vorliegender tiefpunkt ein absolutes extrema oder ein relatives extrema ist ?
und wo ist der Unterschied zwischen relativ und absolut ?
wäre schön wenn mir das mal jemand zb. an einem kleinen beispiel erleutern könnte .
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magnia
Bei einem relativen Minimum ist der Funktionswert links der Minimalstelle und rechts der Minimalstelle grösser als der Funktionswert.
Bei einem Maximum natürlich entsprechend.
Das absoluten Minimum ist hingegen der wirklich tiefste Funktionswert, den es überhaupt gibt!
Nimm mal dieses Beispiel:
[mm] $y=x^3-3x$
[/mm]
Diese Funktion nimmt bei $x=-1$ ein relatives Maximum an, bei $x=+1$ ein relatives Minimum.
Diese Extrema sind aber nicht absolut!
Bei $x=-1_$ ist der Funktionswert ja $2_$. Bei $x=10_$ ist der Funktionswert aber $970_$. Also grösser als $2_$. Diese Funktion nimmt weder ein absolutes Minimum noch ein absolutes Maximum an! Jeder Funktionswert, wie gross du ihn auch vorgibst, wird irgendwo übertroffen!
Jetz schränken wir den Definitionsbereich der Funktion ein:
wir nehmen das abgeschlossene Intervall [-3,+2].
Bei $x=-3$ ist der Funktionswert $-18_$ (falls ich mich nicht verrechnet habe). Dort nimmt die Funktion das absolute Minimum an.
Bei $x=+2_$ ist der Funktionswert $2_$, ebenso wie bei $x=-1_$.
Die Funktion nimmt also bei $x=-1_$ und bei $x=2_$ ein absolutes Maximum an!
Wenn der Definitionsbereich aber ein offenes Intervall ist (also $]-3,+2[_$), dann nimmt die Funktion kein absolutes Minimum an (bei $x=-3_$ gibt es ja keinen Funktionswert, und bei [mm] $x=-3+\varepsilon$ [/mm] bist du nicht am absoluten Tiefpunkt angelante, weil der Funktionswert zum Beispiel bei [mm] $x=-3+\bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] kleiner ist).
Hingegen ist hier bei $x=-1$ das lokale Maximum zugleich auch ein absolutes Maximum: der Funktionswert ist im ganzen Definitionsbereich kleiner als $2_$, ausser eben and der Stelle $x=-1$. 
Aus diesen Erläuterungen siest du vielleicht auch gerade, dass ein absolutes Extremum nicht nur dort zu finden ist, wo die 1. Ableitung null ist! Es müssen immer die Grenzen des Definitionsbereichs und die Unstetigkeitsstellen separat untersucht werden!
So, ich hoffe ich habe dich nicht verwirrt mit den offenen und geschlossenen Intervallen. Das kannst du ja einfach so überfliegen, Aber der Unterschie zwischen lokalem und absolutem Extremum ist jetzt viellleicht etwas klarer geworden?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
wie würde dies aussehen wenn ich dies zb. auf folgende aufgabe beziehe :
welche zylindrische dose mit dem oberflächeninhallt 1 [mm] dm^2 [/mm] hat das größte volumen ?
ich habe als zielfunktion ( abgeleitet )
0,5 r - [mm] ?r^3 [/mm] = Max raus
das heißt bei r = ?1/6? ist das Volumen maximal.
nun wie kann ich hier testen ob es ein relatives oder absolutes maximum ist ?
hier die funktion = r/2 - [mm] ?r^3 [/mm] = Max
ich würde jetzt einfach wild drauf tippen das es ein absoluter ist weil ich ja als extrema dies ausgerechnet habe also kann es doch kein anderes mit dieser voraussetzung geben.
auf der anderen seite dann doch wieder relatrives denn bei einem anderen radius kann doch noch mehr volumen rauskommen ?
wie kann man hier die randextremas definieren bzw. wie geht man hier mit um um die geschichte zu definieren ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Magnia,
ja, die Zielfunktion, die macimal werden soll ist [mm] $V(r)=\frac{1}{2}r-r^3$. [/mm] Diese hat Extremstellen für $r=0$ bzw. [mm] $r=\frac{1}{\sqrt{6}}$. [/mm] Erst einmal müsstes du ja überprüfen, ob es sich dabei um Minima oder Maxima handelt! (zB hinreichende Bedingung $V''(r)<0$). Du kannst ja ansonsten mal überlegen, ob du am Graphen von $V(r)$ erkennen kannst, ob es sich um ein absolutes oder lokales Maximum handelt, wobei du darauf achten solltest welche weiteren Bedingungen an $r$ als Radius geknüpft sind.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Magnia |
ja es handelt sich um ein maxima alleine schon wegen dem - vor [mm] r^3
[/mm]
also hp
doch wie gehts weiter ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Magnia |
wie gehts weiter ?
was fang ich damit an ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Magnia,
wenn du ein vermeintliches globales Maximum bei [mm] $x_E$ [/mm] hast musst du zeigen, dass für alle $x$ gilt, dass [mm] $f(x_E)\ge [/mm] f(x)$ (bzw. [mm] $f(x_E)\le [/mm] f(x)$ für globale Minima).
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 24.04.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
ich blicke nun garnicht mehr durch.
was muss ich machen um dies bei der oben gestellten aufgabe anzuwenden?
lokalen extrremas sind ausgerechnet...
habe extrema bei [mm] \wurzel{ \bruch{1}{6 \pi}}
[/mm]
es ist ein hp (wegen - [mm] x^3)
[/mm]
für den def. bereich würde ich sagen r>0
doch wie lege ich den def nach oben fest ?
würde jetzt tippen bis zu 0 stelle hinter dem extrema
doch wie weiss ich dann ob er max oder rel ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 So 24.04.2005 | | Autor: | Magnia |
ja jetzt isses super klar :D
hab eben nochmal den graphen gezeichnet und siehe da:
die nullstellen grenzen den bereich auch ein.
is bei dieser aufgabe ja eigentlich auch logisch, denn es gibt keine "negativen" strecken.
also hätte man es auch gleich so machen können :)
danke nochmal an alle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Vassago |
Mohoin Magnia,
Auch moin Paulus, man merkt dir den Master of Science an, verwirrend  Ich versuche mal eine Erklärung aus meiner Schülerperspektive, um eine zweite Erklärung zu liefern.
Extrema sind der Definition nach erstmal die Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft, die erste Ableitung null wird. Weniger mathematisch heißt das, dass an dieser Stelle die Kurve weiter unten/oben als links und rechts von dieser Stelle liegt. Ob nun das Extremum weiter unten oder oben als seine "Nachbarn" liegt, hängt davon ab, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist - der Unterschied ist allerdings wohl klar, oder?
Nimm einfach die Normalparabel: [mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
An der Stelle x = 0 liegt ein Minimum vor.
Nehmen wir die an der x-Achse nach unten gespiegelte Normalparabel:
[mm] f(x)=-x^{2}
[/mm]
Nun liegt an der Stelle x = 0 ein Maximum vor.
Hiermit schaffen wir auch den Sprung hin zu relativ und absolut.
relativ von lat. referre, refero, rettuli, relatum - [den Geist] zurückwenden; übertragen also: vergleichen
absolut von lat. absolvere, absolvo, absolvi, absolutum - loslösen
Relatives Extremum heißt also nichts weiter als, dass dieses Extremum v e r g l e i c h sweise hoch oder niedrig liegt, verglichen mit anderen Werten aber durchaus noch über- oder "unter"-troffen werden kann.
Ein absolutes Extremum ist - völlig losgelöst von allen anderen Funktionswerten der Funktion - die Stelle, an der die Kurve den a b s o l u t höchsten/niedrigsten Funktionswert annimmt, am höchsten oder am tiefsten liegt. Es gibt keinen weiteren Punkt der Kurve, der gleich hoch/tief oder gar höher/tiefer liegt.
Die Intervalle habe ich beiseite gelassen, ich hoffe, diese Erklärung reicht dir erstmal und mit Paulus und mir solltest du nun eigentlich dein Wissen über Extrema perfektioniert haben *lol*
CU
Vassago
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Magnia |
ja danke soweit war und ist es mir schon klar
mir geht es mehr um die bestimmung
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