relative extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 So 01.06.2008 | | Autor: | max08 |
wie bestimme ich die relativen extrema folgender funktion:
f(x,y)=ln(xy)-x²-y/x
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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als erstes müssen wird den Gradienten bilden der funktion, eigentlich die erste ableitung einmal nach x und einmal nach y
ich nenne es jetzt mal f1= 1/x -2x [mm] +y/x^2
[/mm]
das sollte die ableitung nach x sein
f2:1/y -1/x
nun hast du den gradienten von x
dann brauchst du alle kritischen stellen an denen der Gradient null
ist dass heißt ein lineares lgs mit f1 und f2
aus gleichung f2 lässt sich sagen dass der punkt (0/0 ) nicht dazu
gehört da ich nicht durch 0 teilen darf
lösen wir die 2 gleichung nach y auf und setzten es in die 1 gleichung ein,
dann komm heraus dass x1=1 und x2 =-1 die beiden kritischen punkte sind
dass wieder in die 2 gleichung kommt heraus y1=1 und y2=-1
nun haben wir die beiden kritischen punkte ich hoffe ich hab keine fehler gemacht
dann müssen wir prüfen ob die kritischen punke auch echt maximum bzw minimum stellen darstellen und dazu brauchen wir die hesse matrix das ist praktisch die erste Ableitung des gradienten also eine 2x2 Matrix
D11 ist der erste eintrag in der ersten spalte und das ist die Ableitung von f1 nach x -> [mm] -1/x^2-2-2*y/x^3 [/mm] D12 ist dann der zweite Eintrag in der ersten Zeile und ist f1 abgeleitet nach y -> [mm] 1/x^2
[/mm]
D21 ist f2 abgeleitet nach x -> [mm] 1/x^2 [/mm] das ist auch immer eine kontrolle den der eintrag sollte identisch sein zu D12 da die hesse matrix symmetrisch ist
und nun noch [mm] D22->-1/y^2
[/mm]
so jetzt haben wir die hesse matrix dann müssen wird klarstellen ob die Determinate der hessematrix an den kritischen stellen >0 st
einfach die stellen einsetzen und ausrechenen
z.b. -1/-1 da kommt raus die determinante ist 5>0 und a/c also D11 und D22 sind negativ dahraus folgt relatives maximum und der punkt 1/1 genauso
und fertig ich hoffe es hat dir was gebracht denk aber schon
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