relative Extrema < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
Ich hoffe ihr könnt mir auch dieses mal wieder helfen.
folgende Aufgabe:
Bestimme die relativen Extrema der Funktion f
[mm] 1)f(x)=x^4-\bruch{1}{2}x
[/mm]
[mm] 2)f(x)=(x^2-2)^2
[/mm]
[mm] 3)f(x)=x+\bruch{1}{x}
[/mm]
Erstmal muss ich ja die Ableitungsfunktionen errechnen.
das wären für:
[mm] 1)f'(x)=4x^3-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] 2)f'(x)=x^4-4x^2+4
[/mm]
3)f'(x)=x+x^-1
und dann die Nullstellen, und da ist schon das Problem. Wie kann ich denn am besten die Nullstellen aus den oben genannten Funktionen errechnen?
Danke im vorraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 02.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
>
> Ich hoffe ihr könnt mir auch dieses mal wieder helfen.
>
> folgende Aufgabe:
>
> Bestimme die relativen Extrema der Funktion f
>
> [mm]1)f(x)=x^4-\bruch{1}{2}x[/mm]
> [mm]2)f(x)=(x^2-2)^2[/mm]
> [mm]3)f(x)=x+\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Erstmal muss ich ja die Ableitungsfunktionen errechnen.
> das wären für:
>
> [mm]1)f'(x)=4x^3-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]2)f'(x)=x^4-4x^2+4[/mm]
> 3)f'(x)=x+x^-1
Die 2 und 3 sind falsch.
[mm] f(x)=(x²-2x)²=x^{4}-4x³+4x² [/mm] (binomische Formel) und damit f'(x)=...
Um f'(x)=0 lösen zu können klammere einmal aus, dann hast du ein Produkt, das Null werden soll, und das passiert, wenn einer der Faktoren Null ist.
Und bei [mm] f(x)=x+\bruch{1}{x}=x-x^{-1}
[/mm]
gilt: [mm] f'(x)=1+(-1)*1^{-1-1}=1-\bruch{1}{x²}
[/mm]
Also
[mm] 1-\bruch{1}{x²}=0
[/mm]
[mm] \gdw 1=\bruch{1}{x²}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\ldots
[/mm]
>
> und dann die Nullstellen, und da ist schon das Problem. Wie
> kann ich denn am besten die Nullstellen aus den oben
> genannten Funktionen errechnen?
>
> Danke im vorraus
>
Und nochwas: Beachte auch das hinreichende Kriterium für Extrempunkte [mm] E(x_{e};f(x_{e}))
[/mm]
Notwendig: [mm] f'(x_{e})=0 [/mm]
Hinreichend: [mm] f''(x_{e})\ne0
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
> Die 2 und 3 sind falsch.
> [mm]f(x)=(x²-2x)²=x^{4}-4x³+4x²[/mm] (binomische Formel) und damit
> f'(x)=.
Du hast dich da vertan, denn die Funktion heißt nicht f(x)=(x²-2x)² sondern f(x)=(x²-2)²
|
|
|
| |
|
>
> Du hast dich da vertan, denn die Funktion heißt nicht
> f(x)=(x²-2x)² sondern f(x)=(x²-2)²
Dies ergibt ausmultipliert:
[mm] \sout{f(x)=(x^2-2)^2\red{\not=}x^4-2x^2+4\red{\not=f(x)}}
[/mm]
Edit: Richtig ist:
[mm] f(x)=(x^2-2)^2=x^4-4x^2+4\red{=f(x)}
[/mm]
Hiervon musst du nun noch die Ableitung bilden!
Schreib sie mal hier rein, dann sehen wir weiter.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
> [mm]f(x)=(x^2-2)^2=x^4-2x^2+4\red{=f(x)}[/mm]
>
> Hiervon musst du nun noch die Ableitung bilden!
> Schreib sie mal hier rein, dann sehen wir weiter.
die Ableitung müsste doch [mm] f'(x)=4x^3-4x [/mm] sein oder?
|
|
|
| |
|
> > [mm]f(x)=(x^2-2)^2=x^4-2x^2+4\red{=f(x)}[/mm]
> >
> > Hiervon musst du nun noch die Ableitung bilden!
> > Schreib sie mal hier rein, dann sehen wir weiter.
>
> die Ableitung müsste doch [mm]f'(x)=4x^3-4x[/mm] sein oder?
Hallo,
ja, richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
und jetzt sind wir nämlich wieder bei dem zu Anfang von mir angesprichenem Problem, die Nullstellen.
>>die Ableitung müsste doch [mm]f'(x)=4x^3-4x[/mm] sein oder?
Könnt ihr mir vll nen tip geben?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo damn!
Eine sehr ähnliche Aufgabe hat Dir FRED heute schon vorgerechnet. Was hast Du daraus gelernt?
Klammere auch hier aus: und zwar $4x_$ .
Anschließend gilt es noch eine 3. binomische Formel anzuwenden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, Achtung, Ihr schleppt einen Fehler durch die Aufgabe:
[mm] f(x)=(x^{2}-2)^{2}=x^{4}-4x^{2}+4
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Danke, das hatte ich ja schon einmal erwähnt, ist aber irgendwie untergegangen.
Wenn ich jetzt >
> [mm]f(x)=(x^{2}-2)^{2}=x^{4}-4x^{2}+4[/mm]
Ableite, dann kommt heraus: [mm] f'(x)=4x^3-8x
[/mm]
und daavon brauche ich jetzt die Nullstellen. Allerdings weiß ich nicht wie ich diese errechnen soll
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] f'(x)=4x^{3}-8x=x(4x^{2}-8)
[/mm]
ein Produkt wird zu Null, wenn (mindestens) ein Faktor gleich Null ist,
1. Faktor: x=0 du hast sofort die 1. Lösung
2. Faktor: [mm] 4x^{2}-8 [/mm] somit [mm] 4x^{2}=8 [/mm] also [mm] x_2= [/mm] ... und [mm] x_3= [/mm] ...
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
okay, danke
Nach meiner Rechnung sind die Nullstellen:
x1=0
x2=+1,414
x3=-1,414
Wenn ich jetzt die Stelle x=0 untersuche, habe ich raus, dass ein VZW von - nach + stattifindet, die Stelle x=0 also ein minimum ist.
Jetzt habe ich mir die Ausgangsfunktion einfach mal zeichnen lassen. da sehe ich, dass an der Stelle x=0 ein Tiefpunkt ist.
http://www.mathe-paradies.de/mathe/funktionsplotter/index.htm
hier könnt ihr selbst noch einmal gucken. Die Ausgangsfunktion war f(x)=(x²-2)²
Muss ich jetzt die NST der Ableitungsfunktion (x2=+1,414 und x3=-1,414)
auch noch prüfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo damn!
> x1=0
> x2=+1,414
> x3=-1,414
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schreibe lieber genauer: [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] +\wurzel{2}$ [/mm] sowie [mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{2}$
[/mm]
> Wenn ich jetzt die Stelle x=0 untersuche, habe ich raus,
> dass ein VZW von - nach + stattifindet, die Stelle x=0 also
> ein minimum ist.
Das sollte aber genau andersrum herauskommen.
> Jetzt habe ich mir die Ausgangsfunktion einfach mal
> zeichnen lassen. da sehe ich, dass an der Stelle x=0 ein
> Tiefpunkt ist.
>
> http://www.mathe-paradies.de/mathe/funktionsplotter/index.htm
Da hast Du wohl einen zu großen Bereich eingestellt. Das sieht nämlich so aus im Bereich der y-Achse:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Muss ich jetzt die NST der Ableitungsfunktion (x2=+1,414
> und x3=-1,414) auch noch prüfen?
Na, aber klar doch ...
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
okay, war ein Tippfehler
also x=0 ist ein maximum
x= 1,414 ist ein minimum
und x= -1,414 ist auch ein minimum
Dieses Aufgabe wäre also geschafft =) Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo,
könnten wir villeicht noch einmal auf die Funktion
[mm] f(x)=x^4-\bruch{1}{2}x [/mm]
Ich hatte ja jetzt so weit gerechnet, dass die Ableitung
[mm] f'(x)=4x^3-\bruch{1}{2}
[/mm]
ist.
Könnt ihr mir villeicht noch einmal erklären, wie ich hier die Nullstellen ausrechnen kann?
das wäre super.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> könnten wir villeicht noch einmal auf die Funktion
>
> [mm]f(x)=x^4-\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> Ich hatte ja jetzt so weit gerechnet, dass die Ableitung
>
> [mm]f'(x)=4x^3-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ist.
>
> Könnt ihr mir villeicht noch einmal erklären, wie ich hier
> die Nullstellen ausrechnen kann?
>
> das wäre super.
Hallo,
wenn Du Nullstellen vo neiner Funktion berechnen willst, geht das immer damit los, daß Du die Funktionsvorschrift =0 setzt.
Wenn Du also die Nullstellen von f(x) willst, schreibst Du erstmal [mm] 0=x^4-\bruch{1}{2}x [/mm] .
dann holst Du tief Luft und überlegst, was Du als nächstes tust. Hier siehst Du, daß keine Zahl ohne x vorkommt, Du kannst also x ausklammern und dann die Nullstellen so bestimmen wie es in diesem Thread schon geübt wurde.
--
Wenn Du also die Nullstellen von f'(x) willst, schreibst Du [mm] 4x^3-\bruch{1}{2}=0 [/mm] und löst diese Gleichung nach x auf. Erstmal das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auf die andere Seite bringen, [mm] x^3 [/mm] freistellen und dann???
gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Genau diese überlegung hatte ich auf mienem Schmierblatt auch schon :D
[mm]4x^3-\bruch{1}{2}=0[/mm]
dann [mm] 4x^3=\bruch{1}{2}
[/mm]
dann [mm] x^3=\bruch{1}{8}
[/mm]
und dann wusste ich nicht mehr weiter.
Jetzt ganz normale wurzel ziehen bringt ja nichts, oder?
|
|
|
| |
|
> Genau diese überlegung hatte ich auf mienem Schmierblatt
> auch schon :D
>
> [mm]4x^3-\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
> dann [mm]4x^3=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> dann [mm]x^3=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> und dann wusste ich nicht mehr weiter.
>
> Jetzt ganz normale wurzel ziehen bringt ja nichts, oder?
Hallo,
nee, hier brauchste 'ne unnormale Wurzel.
Die dritte.
Bevor Du jetzt wie wild auf Deinem taschenrechner rumtippselst, uberlege dir, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert [mm] \bruch{1}{2*2*2} [/mm] ergibt.
(Wenn Du das Ergebnis gefunden hast, tippsele trotzdem, damit Du im Krisenfall weißt, wie es geht.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 02.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Okay, habe beides getan =)
Die Lösung ist:
[mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
also ist x1= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
x2 ebenfalls [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
und x3 genauso [mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo damn!
Bei der 3. Wurzel (bzw. genauer: bei [mm] $x^3 [/mm] \ = \ ...$ ) gibt es nur 1 Lösung!
Gruß
Loddar
|
|
|
|
