relative Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Fr 14.07.2006 | | Autor: | sali |
| Aufgabe | z= f(x,y) soll auf relativde Extrema untersucht werden:
z= [mm] (x^3)y [/mm] - 3xy + [mm] y^2 [/mm] +1 |
Hallo an alle! habe bei dieser aufgabe erstmal [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] gebildet:
[mm] f_x [/mm] = 3 [mm] (x^2) [/mm] y - 3y
[mm] f_y [/mm] = [mm] (x^3) [/mm] - 3x +2y
nun mus ich ja die stationären Punkte P rausfinden, also [mm] f_x=0 [/mm] und [mm] f_y=0 [/mm] setzen, doch das bereitet mir irgendwie probleme, komme einfach nicht auf x und y und ohne diese punkte kann ich ja nicht richtig weiter machen.
Bitte helft mir! Danke schonmal
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> [mm]f_x = 3 (x^2) y - 3y[/mm]
> [mm]f_y =(x^3) - 3x +2y[/mm]
Nun, beide Gleichungen sind 0, du könntest eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen. Beispielsweise die zweite nach y:
[mm] $y=\bruch{1}{2}(-x^3+3x)$
[/mm]
Eingesetzt in die erste:
$0 = 3 [mm] (x^2) \bruch{1}{2}(-x^3+3x) [/mm] - [mm] 3*\bruch{1}{2}(-x^3+3x)$
[/mm]
$0 = [mm] \bruch{3}{2}(-x^5+3x^3) [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}(-x^3+3x)$
[/mm]
$0 = [mm] \bruch{3}{2}\left( -x^5+4x^3-3x\right)$
[/mm]
[mm] $0=-x^5+4x^3-3x \Rightarrow x_1=0 [/mm] $
[mm] $0=-x^4+4x^2-3$
[/mm]
Mit Substitution: [mm] $z=x^2$
[/mm]
[mm] $0=z^2-4z+3$
[/mm]
$z= [mm] +2\pm \wurzel{4-3}$
[/mm]
[mm] $z_1=1$
[/mm]
[mm] $z_2=3$
[/mm]
Und durch Wurzelziehen:
[mm] $x_2=1; [/mm] \ [mm] x_3=-1; [/mm] \ [mm] x_4=\wurzel{3}; [/mm] \ [mm] x_5=-\wurzel{3}$
[/mm]
Somit hast du 5 Werte für x, und durch Einsetzen bekommst du die zugehörigen y-Werte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 14.07.2006 | | Autor: | sali |
super! danke, des leuchtet mir ein! aber wieso hast du [mm] x_1 [/mm] = 0 gesetzt?
also löse ich solche gleichungen immer so oder durch voneinander subtrahieren oder so.. wusste nur nicht ob es da vielleicht eine spezielle regel oder so gibt, aber anscheinend ja nicht.
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> super! danke, des leuchtet mir ein! aber wieso hast du [mm]x_1[/mm]
> = 0 gesetzt?
Nun, das sieht man doch. In jedem Summanden ist x enthalten. Für x=0 werden also alle Summanden null, demnach ist x=0 auch eine Lösung
Die Substitution war günstig wegen der graden Exponenten, ansonsten hättest du an der Stelle raten müssen, und anschließend eine Polynomdivision machen müssen. Das hätte eine Gleichung 3. Grades gegeben, bei der du am besten auch geraten hättest, noch eine Polynomdivision gemacht hättest, um dann eine quadratische Gl zu bekommen, die du auch noch hättest lösen müssen.
Generell hast du hier doch mehrere Gleichungen. WEnn sie nicht linear sind, bleibt nicht viel anderes übrig, als umstellen / einsetzen / lösen.
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