rel. Kondition einer Funktion < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 So 06.03.2011 | | Autor: | Lexie |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Funktionen
[mm] f : \IR^{2 }\to \IR, f(x, y) = x * y - 5 [/mm] und
[mm] h : \IR^{4} \to \IR, h(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = ln(x_{1} + 3x_{3}) + sin(x_{4}) - 4 * 7^{x_{2}} [/mm] die relativen
Konditionszahlen [mm] \kappa_{rel} [/mm] für [mm] x = \vektor{1 \\ 1} [/mm] beziehungsweise für [mm] \tilde x = \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \hat x = \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
Hallo,
wir haben [mm] \kappa_{rel} [/mm] folgendermaßen definiert:
[mm] \kappa_{rel} = \bruch{\delta_{y}}{\delta_{x}} [/mm] mit [mm] \delta_{y} = \bruch{\parallel f(\tilde x) - f(x) \parallel_{Y}}{\parallel f(x) \parallel_{Y}}, \delta_{x} = \bruch{\parallel \tilde x - x \parallel_{X}}{\parallel x \parallel_{X}} [/mm]
Diese Definition finde ich auch verständlich, da die Kondition ja das Verhältnis zwischen Ausgabe- und Eingabefehler beschreibt.
Allerdings weiß ich hier nicht, wie ich damit die Aufgabe lösen soll, vor allem, da auf eine andere Aufgabe verwiesen wurde, in der wir den Gradienten der Funktion [mm] h [/mm] berechnet haben. Dieser kommt aber in der Formel gar nicht vor.
Bei Wikipedia finde ich aber z.B.: [mm] {{\|{{d}\over{dx}}f(x)\| \|x\|}\over{\|f(x)\|}} = \kappa_{rel} [/mm]
Also habe ich mal versucht die Aufgabe mit dieser Formel zu lösen.
[mm] \nabla f(x,y) = \vektor{y \\ x} [/mm]
Für [mm] x = \vektor{1 \\ 1} [/mm] ergibt sich also [mm] \kappa_{rel} = {{\|f'(x)\| \|x\|}\over{\|f(x)\|}} = {{\left\|\vektor{1 \\ 1}\right\| * \left\|\vektor{1 \\ 1}\right\|}\over{\left\|-4\right\|}} = \bruch{\wurzel{2}* \wurzel{2}}{4} = \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] \nabla h(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \vektor{\bruch{1}{x_{1} + 3x_{3}} \\ -4 * ln(7) * 7^{x_{2}} \\ \bruch{3}{x_{1} + 3x_{3}} \\ cos (x_{4})} [/mm]
Für [mm] \tilde x = \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ergibt sich also [mm] \kappa_{rel} = {{\|f'(x)\| \|x\|}\over{\|f(x)\|}} = {{\left\|\vektor{\bruch{1}{4} \\ -28 * ln(7) \\ \bruch{3}{4} \\ cos (1)}\right\| * \left\|\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}\right\|}\over{\left\|ln(4) + sin(1) - 28\right\|}} = \bruch{54,4939* 2}{25,7722} = \bruch{108,9878}{25,7722} = 4,2289[/mm]
und für [mm] \hat x = \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ergibt sich [mm] \kappa_{rel} = {{\|f'(x)\| \|x\|}\over{\|f(x)\|}} = {{\left\|\vektor{\bruch{1}{4} \\ -\bruch{4}{7} * ln(7) \\ \bruch{3}{4} \\ cos (1)}\right\| * \left\|\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 1}\right\|}\over{\left\|ln(4) + sin(1) - \bruch{4}{7}\right\|}} = \bruch{1,4674 * 2}{1,6563} = \bruch{2,9349}{1,6563} = 1,7719[/mm]
Meine Fragen dazu:
1. Ist meine Lösung zumindest teilweise richtig? Mir kommt alles irgendwie falsch vor, aber ich weiß leider nicht, wie ich das anders rechnen könnte.
2. Ich habe jetzt einfach [mm] \parallel * \parallel_{2} [/mm] genommen, da nichts angegeben war. Darf ich mir das überhaupt selber aussuchen? Oder gibt es da irgendwelche Vorgaben, die ich übersehen habe? Im Prinzip würde ich ja sagen, dass es egal ist, solange man für alle Konditionen die gleiche Norm nimmt, sonst kann man ja nicht vergleichen.
3. Ist z.B. [mm] \parallel 4 \parallel_{2} [/mm] überhaupt gültig? Oder darf man die Vektornormen nur bei Vektoren verwenden?
4. Wie könnte ich die Aufgabe mit der ersten Definition lösen?
5. [mm] \tilde x [/mm] hat mich etwas verwirrt, weil es bei der oberen Definition für die gestörten Daten steht, im Kontext mit der Aufgabestellung habe ich es jetzt aber einfach als Vektor verstanden wie auch [mm] x [/mm] und [mm] \hat x [/mm], der auch genausogut a,b,..., oder z hätte heißen können.
Ich würde mich sehr über (Teil-)Antworten freuen :)
LG Lexie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> wir haben $ [mm] \kappa_{rel} [/mm] $ folgendermaßen definiert:
$ [mm] \kappa_{rel} [/mm] = [mm] \bruch{\delta_{y}}{\delta_{x}} [/mm] $ mit $ [mm] \delta_{y} [/mm] = [mm] \bruch{\parallel f(\tilde x) - f(x) \parallel_{Y}}{\parallel f(x) \parallel_{Y}}, \delta_{x} [/mm] = [mm] \bruch{\parallel \tilde x - x \parallel_{X}}{\parallel x \parallel_{X}} [/mm] $
Die Definition ist so aber nicht vollständig, denn [mm] $\kappa$ [/mm] hängt ja von [mm] $\tilde [/mm] x$ ab.
Mit der vollständigen Variante (wir nehmen das worst-case scenario für einen gegebenen Fehler mit Größe [mm] $\leq\varepsilon$ [/mm] und lassen diese Größe dann gegen 0 gehen) ergibt sich:
[mm] $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \sup_{\Vert \delta x \Vert \leq \varepsilon} \left[ \frac{\left\Vert f(x + \delta x) - f(x)\right\Vert}{\Vert f(x) \Vert}\left/ \frac{\Vert \delta x \Vert }{\Vert x \Vert} \right . \right] [/mm] = [mm] $\frac{\| x\|}{\| f(x)\|} \lim_{\varepsilon \to 0^+} \sup_{\Vert \delta x \Vert \leq \varepsilon}\frac{\left\Vert f(x + \delta x) - f(x)\right\Vert}{\Vert \delta x \Vert } [/mm] = [mm] \frac{\| \nabla f(x)\| \|x\|}{\|f(x)\|}$
[/mm]
> 1. Ist meine Lösung zumindest teilweise richtig? Mir kommt alles irgendwie falsch vor, aber ich weiß leider nicht, wie ich das anders rechnen könnte.
Sieht richtig aus. Ich hab die 4-dim Normen nicht nachgerechnet. =)
> 2. Ich habe jetzt einfach $ [mm] \parallel \cdot{} \parallel_{2} [/mm] $ genommen, da nichts angegeben war. Darf ich mir das überhaupt selber aussuchen? Oder gibt es da irgendwelche Vorgaben, die ich übersehen habe? Im Prinzip würde ich ja sagen, dass es egal ist, solange man für alle Konditionen die gleiche Norm nimmt, sonst kann man ja nicht vergleichen.
Wenn eine bestimmte gefragt ist, dann muß das dastehen. Die Norm ergibt sich normalerweise aus einer konkreten Anwendung (ist die totale Abweichung wichtig, dann nimmt man die 2-Norm, ist die schlimmste Abweichung in einer Komponente entscheidend die [mm] $\infty$-Norm, [/mm] etc.). Die 2-Norm ist meist eine gute Wahl, manche Beweise funktionieren aber für beliebige Normen und man kann sich durch eine andere Norm Arbeit ersparen.
> 3. Ist z.B. $ [mm] \parallel [/mm] 4 [mm] \parallel_{2} [/mm] $ überhaupt gültig? Oder darf man die Vektornormen nur bei Vektoren verwenden?
Die 2-Norm im 1-dim ergibt gerade die Definition des Betrags.
> 4. Wie könnte ich die Aufgabe mit der ersten Definition lösen?
Setz [mm] $\delta [/mm] x = [mm] \pmat{\delta_x \\ \delta_y}$ [/mm] in die obige Definition ein und rechne. =)
Für das 2-dim funktioniert das auch recht gut.
> 5.
richtig.
ciao
Stefan
ciao
Stefan
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