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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:44 Mo 14.12.2009 | | Autor: | bl1nky |
| Aufgabe | Gegeben seien A=(2,0;0,3) , b=(2;3) und ^A (2,e;0,3) mit e>0
Statt Ax=b werde das gestörte Gleichungssystem ^Ax=b gelöst. Der dabei entstehende relative Fehler in x soll bezüglich der euklidischen Norm maximal 10^-2 also 0,01 betragen. Wie groß darf e höchstens werden? |
Hi, habe die Aufgabe versucht zu lösen, habe für e = 0,268721092 raus.
Darauf gekommen bin ich, indem ich erst die Norm von A berechnet habe, also 2²+3²=13 Wurzel daraus ist die euklidische Norm: 3,605551275
Dazu habe ich die 0,01 addiert, es kam 3,615551275 raus. Das dann wieder hoch 2, es kommt 13,07221103 raus. Davon -13 abziehen, es bleibt 0,07221103 raus. Davon die Wurzel ziehen und es kommt 0,267721092 raus.
Ist der Wert an sich richtig?
Und wenn ja ist meine Methode ja sicherlich nicht richtig, wie berechnet man das allgemein, oder ist mein Weg richtig.
Vielen Dank schonmal
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben seien [mm] A=\pmat{2&0\\0&3} [/mm] , [mm] b=\pmat{2\\3} [/mm] und [mm] \hat{A}=\pmat{2&e\\0&3} [/mm] mit
> e>0
> Statt Ax=b werde das gestörte Gleichungssystem [mm] \hat{A}x=b [/mm]
> gelöst. Der dabei entstehende relative Fehler in x soll
> bezüglich der euklidischen Norm maximal 10^-2 also 0,01
> betragen. Wie groß darf e höchstens werden?
> Hi, habe die Aufgabe versucht zu lösen, habe für e =
> 0,268721092 raus.
> Darauf gekommen bin ich, indem ich erst die Norm von A
> berechnet habe, also 2²+3²=13 Wurzel daraus ist die
> euklidische Norm: 3,605551275
> Dazu habe ich die 0,01 addiert, es kam 3,615551275 raus.
> Das dann wieder hoch 2, es kommt 13,07221103 raus. Davon
> -13 abziehen, es bleibt 0,07221103 raus. Davon die Wurzel
> ziehen und es kommt 0,267721092 raus.
> Ist der Wert an sich richtig?
> Und wenn ja ist meine Methode ja sicherlich nicht richtig,
> wie berechnet man das allgemein, oder ist mein Weg
> richtig.
Ich denke, dein Wert für e ist deutlich zu groß.
Ich bin einfach so vorgegangen:
1.) beide Gleichungssysteme gelöst ---> Lösungsvektoren x und [mm] \hat{x}
[/mm]
2.) Differenzvektor [mm] d=\hat{x}-x [/mm] berechnet
3.) Bedingung [mm] |d|\le \frac{|x|}{100} [/mm] nach e aufgelöst
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mo 14.12.2009 | | Autor: | bl1nky |
Hi,
vielen Dank schonmal.
Also ist x= (1;1)
Aber wie komme ich auf ^x?
Und wie ist Punkt 3 gemeint, verstehe ich nicht ganz :(
Kannst du mir das vielleicht anhand der Aufgabe zeigen bzw vorrechnen oder falls du das nicht willst nochmal versuchen zu erläutern?
Mfg
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> Hi,
> vielen Dank schonmal.
> Also ist x= (1;1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja; als Spaltenvektor notiert: [mm] x=\pmat{1\\1}
[/mm]
> Aber wie komme ich auf ^x?
Die Gleichungen dafür sind:
[mm] 2*\hat{x}_1+e*\hat{x}_2=2
[/mm]
[mm] 3*\hat{x}_2=3
[/mm]
Daraus ergibt sich [mm] \hat{x}_2=1 [/mm] und [mm] \hat{x}_1=1-\frac{e}{2}
[/mm]
also
[mm] \hat{x}=\pmat{1-\frac{e}{2}\\1}
[/mm]
> Und wie ist Punkt 3 gemeint, verstehe ich nicht ganz
Der Differenzvektor ist [mm] d=\hat{x}-x=\pmat{-\frac{e}{2}\\0}
[/mm]
Dessen Betrag ist [mm] |d|=\frac{e}{2} [/mm] (wegen e>0)
Und nun soll dieser Betrag höchstens ein Hundertstel
des Betrages von x sein. Daraus kann man den maximal
zulässigen Wert von e berechnen: [mm] e_{max}\approx0.0283
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 15.12.2009 | | Autor: | bl1nky |
Vielen Dank :)!
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> Vielen Dank :)!
Hallo bl1nky,
ich denke zwar, dass die "ausführliche" Rechnung,
die ich angeboten habe, richtig ist. Dennoch bin ich
nicht sicher, ob dies die Art Lösung ist, die von euch
erwartet wird. Vielleicht war ja so etwas wie eine
approximative Lösung durch Linearisierung gemeint.
Das müsste man sich neu überlegen.
Ich denke dabei an einen Ansatz der Form
[mm] $\hat{A}\ [/mm] =\ [mm] A+\Delta$
[/mm]
[mm] $\hat{x}\ [/mm] =\ [mm] x+\delta$
[/mm]
oder allenfalls etwas mit Ableitungen. Wer hier noch
etwas beitragen kann, ist dazu eingeladen !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 17.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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