rel. Extrema f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Di 26.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion
f(x,y)= [mm] x^{3}-12xy+8y^{3} [/mm] |
Hallo,
irgendwie stelle ich mich bei dieser Aufgabe ziemlich blöd an.
hab
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 3x^{2}-12y
[/mm]
und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= -12x+24y^{2}
[/mm]
für die notwendige Bedingung müsste beide ja dann dafür null sein.
ich steh grad auf dem schlauch wie ich das nun löse.
tips?
ich muss ja auf verschiedene punkte [mm] x_o, y_o [/mm] dann kommen um dann zu überprüfen ob die hinreichende bedingung gilt.
die habe ich allerdings auch nicht verstanden.
kann mir das jemand nochmal erklären?
danke!
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Huhu,
na du hast jetzt ein einfaches Gleichungssystem, ich forms mal für dich um, dann wirds vielleicht klarer:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]3x^{2}-12y[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= -12x+24y^{2}[/mm]
>
> für die notwendige Bedingung müsste beide ja dann dafür
> null sein.
Genau, nun setz das doch mal Null, dann steht da:
[mm]I.) 3x^{2}-12y = 0[/mm]
und
[mm]II.) -12x+24y^{2} = 0[/mm]
ein bisschen Umformen und wir haben:
[mm]I.) x^2 = 4y[/mm]
und
[mm]II.) 2y^2 = x[/mm]
Na nun lös das doch mal.
Die Ergebnisse setzt du dann in die Hesse-Matrix ein und schaust, ob diese positiv oder negativ definit ist.
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 26.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok stand echt auf dem schlauch.
die Punkte sind daher (0/0) und (2/1)
in die hessesche matrix:
[mm] A_1 [/mm] : [mm] \pmat{ 6*0& -12 \\ -12 & 0 } A_2: \pmat{ 12 & -12 \\ -12 & 24 }
[/mm]
um zu schauen ob die Matrix positiv oder negativ definiert ist muss ich doch nun jeweils die EIgenwerte ausrechnen
also:
[mm] \vmat{ \lambda & 12 \\ 12 & \lambda }
[/mm]
also [mm] \lambda^{2}-144 [/mm] = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = +/- 12
-> weder pos.noch negativ was meint das nun?
ebenfalls bei deren matrix,
da steht dann [mm] \lambda^{2}-60* \lambda [/mm] +432
und da gibt es dann auhc sowohl pos.als auch neg. lambda.
sind das dann sattelpunkte?
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> ok stand echt auf dem schlauch.
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> die Punkte sind daher (0/0) und (2/1)
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> in die hessesche matrix:
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> [mm]A_1[/mm] : [mm]\pmat{ 6*0& -12 \\ -12 & 0 } A_2: \pmat{ 12 & -12 \\ -12 & 24 }[/mm]
>
> um zu schauen ob die Matrix positiv oder negativ definiert
> ist muss ich doch nun jeweils die EIgenwerte ausrechnen
>
> also:
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> [mm]\vmat{ \lambda & 12 \\ 12 & \lambda }[/mm]
> also
> [mm]\lambda^{2}-144[/mm] = 0 -> [mm]\lambda[/mm] = +/- 12
> -> weder pos.noch negativ was meint das nun?
Hallo,
ein Sattelpunkt.
Bei der zweiten Matrix hast Du Dich vertan.
Schau Dir auch mal das Hauptminorenkriterium für die Definitheit an, für 2x2-matrizen ist das recht handlich.
Gruß v. Angela
>
> ebenfalls bei deren matrix,
>
> da steht dann [mm]\lambda^{2}-60* \lambda[/mm] +432
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> und da gibt es dann auhc sowohl pos.als auch neg. lambda.
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> sind das dann sattelpunkte?
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