rekursive folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Mo 18.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Ich habe eine Zahlenfolge gegeben, die rekursiv definiert ist durch [mm] x_{1}=2, [/mm]
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{ x_{n}} [/mm] , für alle n Element N. n = 1, 2, ....
Nun soll ich [mm] x_{2}, x_{3} [/mm] ...... [mm] x_{8} [/mm] berechenen.
dazu hatte ich mir folgendes gedacht :
Für [mm] x_{2} [/mm] wollte ich in die Formel für [mm] x_{n+1} [/mm] das [mm] x_{n} [/mm] durch [mm] x_{1} [/mm] ersetzen, dann würde ich erhalten:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{1+1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( 2 + [mm] \bruch{2}{2} [/mm] )
So, wenn ich das dann ausrechne erhalte ich :
[mm] \bruch{3}{2}, [/mm] also 1,5
Aber wenn ich dieses Verfahren bis [mm] x_{8} [/mm] anwende, werde ich wahnsinnig. Denn es kommen unmögliche Kommastellen raus.
Kann mir jemand sagen wie ich so etwas leichter lösen könnte???
DANKE!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
Offensichtlich sind alle Glieder von [mm] $(a_n)$ [/mm] rational. Es gibt also Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] und [mm] $(y_n)$ [/mm] ganzer Zahlen mit [mm] $a_n=\frac{x_n}{y_n}$; [/mm] kurz gesagt: die [mm] $x_n,y_n$ [/mm] geben jeweils Zähler und Nenner von [mm] $a_n$ [/mm] an [zur Wohldefiniertheit müssten wir noch fordern, dass [mm] $x_n,y_n$ [/mm] teilerfremd sind - das spielt hier aber keine Rolle]. Nehmen wir an, [mm] $a_n=\frac{x_n}{y_n}$ [/mm] sei bekannt. Dann gilt nach Definition:
[mm] $a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x_n}{y_n}+\frac{2y_n}{x_n}\right)=\frac{x_n^2+2y_n^2}{2x_n y_n}$.
[/mm]
D.h. also, wenn du ein [mm] $a_n$ [/mm] und eine Bruchdarstellung von [mm] $a_n$ [/mm] kennst, kannst du Zähler und Nenner von [mm] $a_{n+1}$ [/mm] schnell und unkompliziert ausrechnen; somit solltest du deine Folgenglieder schnell zusammen bekommen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Di 19.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Danke für die schnelle rückmeldung! Aber ganz verstehe ich den gedanken noch nicht. Könntest du mir das ganze für [mm] x_{2} [/mm] einmal vorrechnen????
DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 19.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
Entschuldige bitte; ich habe in meiner Antwort [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(x_n)$ [/mm] verdreht. Wenn ich im Folgenden von [mm] $a_n$ [/mm] spreche, meine ich die Folge, die du als [mm] $(x_n)$ [/mm] eingeführt hast, ok? Dann ist [mm] $a_1=2=\frac{2}{1}$, [/mm] d.h. [mm] $x_1=2$ [/mm] und [mm] $y_1=1$. [/mm] Setzen wir dies in die hergeleitete Formel ein, erhalten wir:
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] \frac{x_1^2+2y_1^2}{2x_1y_1}=\frac{2^2+2\cdot 1^2}{2\cdot 1\cdot 2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
[/mm]
Es ist also [mm] $x_2=3, y_2=2$. [/mm] Nun setzen wir dies in die Formel für [mm] $a_3$ [/mm] ein:
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] \frac{x_2^2+2y_2^2}{2x_2 y_2}=\frac{9+2\cdot 2^2}{12}=\frac{17}{12}$, [/mm] d.h. [mm] $x_2=17, y_2=12$.
[/mm]
Setzen wir dies nun in die Formel für [mm] $a_4$ [/mm] ein, ergibt sich:
[mm] $a_4 [/mm] = [mm] \frac{x_3^2+2y_3^2}{2x_3 y_3}=\frac{289+288}{408}=\frac{577}{408}$.
[/mm]
Klar: die Zahlen werden auch immer größer, aber du kannst das ja mit dem Taschenrechner ausrechnen, und dazu musst du lediglich Zähler und Nenner in die von mir hergeleitete Formel einsetzen. Das sollte schnell gehen.
Ist es nun klarer, wie ich die Folgenglieder berechnen würde?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 19.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo Hanno!
Vielen Dank ich konnte nun folgen :) Habe auch alle Werte ausgerechent und muss feststellen dass sie die Werte x2 - x7 immer mehr [mm] \wurzel{2} [/mm] annähern.
Mein x8 wert ist dann genau 2 [mm] \wurzel{2}!!!!
[/mm]
So nun soll ich mit einem Beweis die Folge auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen.
Kannst du mir auch da weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Di 19.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
> Kannst du mir auch da weiterhelfen?
Aber sicher 
Klar, das Ganze läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass die dir gegebene Folge gegen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] konvergiert. Das, was du nun machen sollst, nämlich Monotonie und Beschränktheit nachzuweisen, ist der erste Schritt dazu; hast du dies nämlich gezeigt, so folgt aus dem Monotonieprinzip, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergiert; dann kannst du den Grenzwert leicht ausrechnen.
Fangen wir mal mit dem Beweis der Beschränktheit an. Da wir vermuten, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] konvergiert, versuchen wir, zu zeigen, dass [mm] $x_n\geq\sqrt{2}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist. Für $n=1$ ist dies klar, denn [mm] $x_1=2>\sqrt{2}$. [/mm] Sei nun [mm] $n\geq1$, [/mm] dann ist nach Voraussetzung [mm] $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$. [/mm] Wir müssen also zeigen, dass [mm] $\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)>\sqrt{2}$ [/mm] gilt. Dies kann durch elementare Umformungen eingesehen werden; schaffst du das?
So, nehmen wir jetzt an, wir hätten die Beschränktheit von [mm] $(x_n)$ [/mm] bereits gezeigt, dann fehlt noch die Monotonie; da wir gesehen haben, dass die ersten Folgenglieder immer kleiner werden, vermuten wir, dass [mm] $x_{n+1}\sqrt{2}$ [/mm] zu beweisen?
Versuche es bitte einmal!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 19.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo Hanno!
DANKE für die schnelle Hilfe. Aber ich hänge leider schon bei der Beschrnktheit fest. :(
Habe folgendes versucht :
[mm] \bruch{1}{2} (x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x_{n}} [/mm] > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Wenn ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ausmultipliziere erhalte ich :
[mm] \bruch{x_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{ x_{n}} [/mm] > [mm] \wurzel{2} [/mm]
Um alles auf den hauptnenner zu bringen multipliziere ich und erhalte :
[mm] \bruch{( x_{n})^2 + 4}{2 x_{n}} [/mm] > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Dann bekomme ich :
( [mm] x_{n})^2 [/mm] + 4 > [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] 2x_{n}
[/mm]
Aber das bringt mir ja mal gerade gar nichts oder bin ich schon wieder falsch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 19.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> [mm]\bruch{1}{2} (x_{n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{x_{n}}[/mm] > [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Wenn ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ausmultipliziere erhalte ich :
>
> [mm]\bruch{x_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{2}{ x_{n}}[/mm] > [mm]\wurzel{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der zweite Bruch auf der linken Seite muß natürlich lauten: [mm] $\bruch{\red{1}}{x_n}$ [/mm] !!
(die 2 kürzt sich doch raus ...)
> Aber das bringt mir ja mal gerade gar nichts oder bin ich
> schon wieder falsch???
Der Ansatz ist völlig okay!
Bringe dann mal alles auf eine Seite der Ungleichung und vielleicht erkennst Du ja dann eine binomische Formel ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Klar das habe ich vergessen, das sind immer so kleine Flüchtigkeitsfehler....
Aber wenn ich alles auf eine Seite gebracht habe erhalte ich :
[mm] \bruch{ x_{n}}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] > 0
Eine binomische Formel sehe ich dort nicht...... Ich wüsste nicht wie sie lauten sollte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
$ [mm] \bruch{ x_{n}}{2} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] $ > 0
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Jetzt musst du noch mit [mm] $2x_n$ [/mm] multiplizieren, damit die Brüche wegfallen. Unter Beachtung von [mm] $\sqrt{2}^2=2$ [/mm] (ist schon klar, aber du musst es bei der resultierenden Ungleichung eben erkennen) solltest du die Binomische Formel [mm] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ [/mm] anwenden können.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Stimmt genau, die Nenner :)
DANKE!
Aber: damit habe ich dann ja noch nicht die BEschränktheit bewiesen, oder?
Wie muss ich denn weiter vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
Doch, das hast du. Es ist [mm] $x_1=2$ [/mm] und alle [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm] $n\geq [/mm] 2$ haben die Form [mm] $\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{2}{x_{n-1}}\right)$. [/mm] Soeben hast du damit gezeigt, dass [mm] $x_n\geq\sqrt{2}$ [/mm] äquivalent zu [mm] $(x_{n-1}-\sqrt{2})^2\geq [/mm] 0$ ist - dies ist aber offensichtlich richtig! Die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] ist also durch [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nach unten beschränkt.
Jetzt bleibt also noch die Monotonie nachzuweisen. Das schaffst du nun auch, es funktioniert sehr ähnlich.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Stop, deinem letzten eintrag kann ich nicht ganz folgen. Ich habe nun doch lediglich gezeigt, dass die 2. binomiscvher formle größer null ist???
Deinen Eintrag dazu verstehe ich nicht!!
Sorry dass ich so viele Probleme mache..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
Wir wollten die Ungleichung [mm] $x_n\geq\sqrt{2}$ [/mm] zeigen. Diese haben wir äquivalent zu [mm] $(x_{n-1}-\sqrt{2})^2\geq [/mm] 0$ umgeformt. Letztere Ungleichung ist aber offensichtlich richtig, da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist. Da wir, um dies nochmal zu betonen, nur Äquivalenzumformungen vorgenommen haben, folgt damit auch die Ursprungsungleichung, d.h. [mm] $a_n\geq\sqrt{2}$, [/mm] was wir ja zeigen wollten.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Stimmt, jetzt hab ichs gesehen :)
So nun zur Monotonie.
Ich kenne nur das Vorgehen dass ich schaue ob [mm] x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n} [/mm] > o ist.
Aber das nutzt mir ja hier nichts. Weil ich dann sofort stecken bleibe.
ODER?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
Doch doch, dein Ansatz ist schon richtig. Du musst lediglich die rekursive Definition für [mm] $a_{n+1}$ [/mm] einsetzen und dann umformen. Beachte dabei, dass wir bereits gezeigt haben, dass [mm] $x_n\geq \sqrt{2}$ [/mm] gilt!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> Ich kenne nur das Vorgehen dass ich schaue ob [mm]x_{n+1}[/mm] - [mm]x_{n}[/mm] > o ist.
Richtig!
Und nun setze doch für [mm] $x_{n+1}$ [/mm] unsere Rekursionsvorschrift ein.
Damit erhältst Du: [mm] $\bruch{1}{2}*\left(x_n + \bruch{2}{x_n}\right) [/mm] - [mm] x_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Diese Ungleichung zusammenfassen und ähnlich zur Beschränktheitsberechnung umformen, bis Du wieder eine wahre Aussage erhältst ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
okay wenn ich dann
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{ x_{n}} [/mm] - [mm] x_{n} \ge [/mm] 0
um forme, komme ich zu folgendem :
[mm] \bruch{ x_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] - [mm] x_{n} \ge [/mm] 0 --> Mit dem Hauptnenner multipliziert erhalte ich:
( [mm] x_{n} )^2 [/mm] + 2 - 2( [mm] x_{n})^2 \ge [/mm] 0
ODER BIN ICH FALSCH???????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Zunächst einmal müssen wir einen kleinen Fehler korrigieren!
Wir wollen ja zeigen, daß unsere Folge monoton fallend ist.
Dann muß natürlich gelten: [mm] $x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 0$ !!!
> ( [mm]x_{n} )^2[/mm] + 2 - 2( [mm]x_{n})^2 \ge[/mm] 0
Soweit fast richtig, wir müssen halt nur das Ungleichheitszeichen umdrehen (siehe oben)!
[mm] $x_n^2 [/mm] + 2 - [mm] 2*x_n^2 [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 0$
Nun fasse hier doch mal weiter zusammen und bringe die [mm] $x_n$ [/mm] auf eine Seite, den Rest auf die andere.
Und wie Hanno bereits schrieb, sollte dann eine bekannte Ungleichung entstehen (etwas, was wir weiter oben bereits nachgewisen haben!).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Stimmt, ich bekomme dann am Ende:
[mm] x_{n} \ge \wurzel{2}!!! [/mm] Stimmts????
Somit habe ich gezeigt dasss die folge monoton fallen dist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Anna!
Ja, nun passt's :)
Damit hast du gezeigt, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] monoton fallend und nach unten beschränkt ist; folglich muss [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergieren. Das war zu zeigen.
Liebe Grüße,
Hanno
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