rekursive Folge Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Do 29.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{0}:=1 [/mm] und [mm] a_{n}:=1+ \bruch{a_{n-1}}{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.
Tipp: Zeigen Sie, dass [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] monoton und beschränkt ist, und nutzen Sie die Tatsache, dass für eine konvergente Folge [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1} [/mm] |
Hey Leute,
versuche gerade die Monotonie zu zeigen. Aber erstmal habe ich mir die ersten Folgeglieder angeschaut.
[mm] a_{0}=1
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{7}{4}
[/mm]
[mm] a_{3}=\bruch{15}{8}
[/mm]
[mm] a_{4}=\bruch{31}{16}
[/mm]
[mm] a_{5}=\bruch{63}{32}
[/mm]
[mm] a_{6}=\bruch{127}{64}
[/mm]
Nun zur Monotonie:
Eine Folge ist monoton steigend, wenn [mm] a_{n+1} \ge a_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] 1+\bruch{a_{n-1+1}}{2} \ge 1+\bruch{a_{n-1}}{2} [/mm] |-1 |*2
[mm] a_{n} \ge a_{n-1}
[/mm]
[mm] 1+\bruch{a_{n-1}}{2} \ge a_{n-1} [/mm] |*2 [mm] |-a_{n-1}
[/mm]
2 [mm] \ge a_{n-1}
[/mm]
Nun dachte ich daran, die Aussage mit vollständiger Induktion zu beweisen:
Induktionsanfang: n=1
2 [mm] \ge a_{n-1}
[/mm]
2 [mm] \ge a_{1-1}=a_{0}
[/mm]
2 [mm] \ge [/mm] 1
Also ist die Behauptung für alle n [mm] \in \IN [/mm] wahr.
Induktionsschritt von n nach n+1
2 [mm] \ge a_{n-1+1}
[/mm]
2 [mm] \ge a_{n}
[/mm]
2 [mm] \ge 1+\bruch{a_{n-1}}{2} [/mm] |-1 |*2
2 [mm] \ge a_{n-1}
[/mm]
Und damit ist die Behauptung wahr.
Stimmen meine Überlegungen??
Zur Beschränktheit:
Kann ich daraus folgern dass die obere Schranke 2 ist.
Die untere Schranke ist das erste Folgenglied.
Wäre wie immer dankbar für Hilfe.
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Silfide,
> Sei [mm]a_{0}:=1[/mm] und [mm]a_{n}:=1+ \bruch{a_{n-1}}{2}[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] in
> [mm]\IR[/mm] konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.
> Tipp: Zeigen Sie, dass [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] monoton und
> beschränkt ist, und nutzen Sie die Tatsache, dass für
> eine konvergente Folge [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}[/mm]
>
> Hey Leute,
>
> versuche gerade die Monotonie zu zeigen. Aber erstmal habe
> ich mir die ersten Folgeglieder angeschaut.
>
> [mm]a_{0}=1[/mm]
> [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]a_{2}=\bruch{7}{4}[/mm]
> [mm]a_{3}=\bruch{15}{8}[/mm]
> [mm]a_{4}=\bruch{31}{16}[/mm]
> [mm]a_{5}=\bruch{63}{32}[/mm]
> [mm]a_{6}=\bruch{127}{64}[/mm]
>
> Nun zur Monotonie:
>
> Eine Folge ist monoton steigend, wenn [mm]a_{n+1} \ge a_{n}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]1+\bruch{a_{n-1+1}}{2} \ge 1+\bruch{a_{n-1}}{2}[/mm] |-1
> |*2
>
> [mm]a_{n} \ge a_{n-1}[/mm]
>
> [mm]1+\bruch{a_{n-1}}{2} \ge a_{n-1}[/mm] |*2 [mm]|-a_{n-1}[/mm]
>
> 2 [mm]\ge a_{n-1}[/mm]
>
> Nun dachte ich daran, die Aussage mit vollständiger
> Induktion zu beweisen:
>
> Induktionsanfang: n=1
> 2 [mm]\ge a_{n-1}[/mm]
> 2 [mm]\ge a_{1-1}=a_{0}[/mm]
> 2 [mm]\ge[/mm] 1
>
> Also ist die Behauptung für alle n [mm]\in \IN[/mm] wahr.
>
> Induktionsschritt von n nach n+1
>
> 2 [mm]\ge a_{n-1+1}[/mm]
> 2 [mm]\ge a_{n}[/mm]
> 2 [mm]\ge 1+\bruch{a_{n-1}}{2}[/mm]
> |-1 |*2
> 2 [mm]\ge a_{n-1}[/mm]
>
> Und damit ist die Behauptung wahr.
>
> Stimmen meine Überlegungen??
Das hängt davon ab, was Deine Überlegungen waren. Nach meiner grenzenlos gutwilligen Interpretation, die nicht jeder Korrektor an den Tag legt, hast Du per Induktion bewiesen, daß 2 obere Schranke ist. Dies hast Du dann benutzt, um die Monotonie zu zeigen. Wenn das Deine Überlegungen waren, stimmen sie. Ich rate aber, dies dann auch so aufzuschreiben.
>
> Zur Beschränktheit:
> Kann ich daraus folgern dass die obere Schranke 2 ist.
> Die untere Schranke ist das erste Folgenglied.
Na ja, das hast Du ja oben gezeigt!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 29.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> > Stimmen meine Überlegungen??
>
> Das hängt davon ab, was Deine Überlegungen waren. Nach
> meiner grenzenlos gutwilligen Interpretation, die nicht
> jeder Korrektor an den Tag legt, hast Du per Induktion
> bewiesen, daß 2 obere Schranke ist. Dies hast Du dann
> benutzt, um die Monotonie zu zeigen. Wenn das Deine
> Überlegungen waren, stimmen sie. Ich rate aber, dies dann
> auch so aufzuschreiben.
Ach, wie freue ich mich gerade über deine grenzenlos gutwillige Interpretation (auch wenn ich genau weiß, was das heißt).
Aber leider war dies nicht meine Absicht. Es mir auch neu das man Monotonie über Schranken zeigen kann. (Gegenbeispiel: alterniere Folge mit zwei Häufungspunkten 1 und -1)
Aber ich weiß nu, leider nicht wie ich es zeigen soll.
Habe ja versucht die Definition anzuwenden, aber wie du bereits bemerkt hast, braucht es eine grenzenlos gutwillige Interpretation.
Hatte es auch so versucht, dass anstatt die Definition zu zeigen, ich versucht habe zu zeigen, dass [mm] a_{n+1}-a_{n} \ge [/mm] 0. Was mich aber auch nicht aus ein brauchbares Ergebnis brauchte.
Hast du ne Vorschlag wie ich es besser /richtiger machen könnte?
> > Zur Beschränktheit:
> > Kann ich daraus folgern dass die obere Schranke 2 ist.
> > Die untere Schranke ist das erste Folgenglied.
>
> Na ja, das hast Du ja oben gezeigt!
>
>
Gruß Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> > > Stimmen meine Überlegungen??
> >
> > Das hängt davon ab, was Deine Überlegungen waren. Nach
> > meiner grenzenlos gutwilligen Interpretation, die nicht
> > jeder Korrektor an den Tag legt, hast Du per Induktion
> > bewiesen, daß 2 obere Schranke ist. Dies hast Du dann
> > benutzt, um die Monotonie zu zeigen. Wenn das Deine
> > Überlegungen waren, stimmen sie. Ich rate aber, dies dann
> > auch so aufzuschreiben.
>
>
> Ach, wie freue ich mich gerade über deine grenzenlos
> gutwillige Interpretation (auch wenn ich genau weiß, was
> das heißt).
>
> Aber leider war dies nicht meine Absicht. Es mir auch neu
> das man Monotonie über Schranken zeigen kann.
> (Gegenbeispiel: alterniere Folge mit zwei Häufungspunkten
> 1 und -1)
Das kann man nicht immer, aber in diesem Fall klappt das so. Also zeige per Induktion, daß [mm] $a_n\le [/mm] 2$ für alle $n$. Und genau dies hast Du ja gemacht -- im zweiten Teil Deines Beweises. Mit dem solltest Du also aus logischen Gründen beginnen. Im ersten Teil hast Du dann gemerkt, daß die Folge genau dann monoton steigt, wenn alle [mm] $a_n \le [/mm] 2$ sind. (Durch äquivalente Umformungen. ) Nun Interpretiere Deinen Ansatz auch mal gutwillig!
Deine Vorgehensweise ist übrigens ebenso legitim wie erfolgsversprechend! Versuche die Monotonie zu zeigen, indem Du die Ungleichung durch äquivalente Umformungen vereinfachst. Dabei siehst Du, daß die Folge monoton sind, wenn 2 obere Schranke ist. Und dann kommst Du auf die Idee, diese Schranke mit Induktion zu zeigen.
Grüße,
Wolfgang
> Aber ich weiß nu, leider nicht wie ich es zeigen soll.
> Habe ja versucht die Definition anzuwenden, aber wie du
> bereits bemerkt hast, braucht es eine grenzenlos gutwillige
> Interpretation.
>
> Hatte es auch so versucht, dass anstatt die Definition zu
> zeigen, ich versucht habe zu zeigen, dass [mm]a_{n+1}-a_{n} \ge[/mm]
> 0. Was mich aber auch nicht aus ein brauchbares Ergebnis
> brauchte.
>
> Hast du ne Vorschlag wie ich es besser /richtiger machen
> könnte?
>
> > > Zur Beschränktheit:
> > > Kann ich daraus folgern dass die obere Schranke 2
> ist.
> > > Die untere Schranke ist das erste Folgenglied.
> >
> > Na ja, das hast Du ja oben gezeigt!
> >
> >
> Gruß Silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 29.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
>
> Das kann man nicht immer, aber in diesem Fall klappt das
> so. Also zeige per Induktion, daß [mm]a_n\le 2[/mm] für alle [mm]n[/mm].
> Und genau dies hast Du ja gemacht -- im zweiten Teil Deines
> Beweises.
> Mit dem solltest Du also aus logischen Gründen
> beginnen. Im ersten Teil hast Du dann gemerkt, daß die
> Folge genau dann monoton steigt, wenn alle [mm]a_n \le 2[/mm] sind.
> (Durch äquivalente Umformungen. ) Nun Interpretiere Deinen
> Ansatz auch mal gutwillig!
>
Okay, dass (Induktion) habe ich nochmal aufgeschrieben für [mm] a_{n} \le [/mm] 2, weil ich bin ja auf [mm] a_{n-1} \le [/mm] 2 gekommen und nicht auf [mm] a_{n} \le [/mm] 2.
Und da ist nun mein Problem, ich komme immer auf [mm] a_{n-1} \le [/mm] 2, weshalb mich deine Antwort auch etwas verwirrt (ist vermutlich auch gerade nicht sonderlich schwer).
> Deine Vorgehensweise ist übrigens ebenso legitim wie
> erfolgsversprechend! Versuche die Monotonie zu zeigen,
> indem Du die Ungleichung durch äquivalente Umformungen
> vereinfachst. Dabei siehst Du, daß die Folge monoton sind,
> wenn 2 obere Schranke ist. Und dann kommst Du auf die Idee,
> diese Schranke mit Induktion zu zeigen.
>
Silfide
Nachtrag:
Nochmal (mit hoffentlich geordneteren Gedanken):
[mm] a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{n}=1+\bruch{a_{n-1}}{2}
[/mm]
Vermutung: Folge ist monoton steigend und mit [mm] a_{n} \le [/mm] 2 beschränkt.
Beschränktheit:
Induktionsanfang (n=0): [mm] a_{0}=1 \le [/mm] 2
Induktionsannahme \ -voraussetzung (IV): [mm] a_{n} \le [/mm] 2
Induktionsbehauptung: [mm] a_{n+1} \le [/mm] 2
Induktionsschritt (von n nach n+1): [mm] a_{n+1}=1+\bruch{a_{n}}{2} \le [/mm] (wegen IV) [mm] 1+\bruch{2}{2}=2
[/mm]
Monotonie:
zu Zeigen [mm] a_{n+1}-a_{n}\le [/mm] 0
[mm] a_{n+1}-a_{n}=1+\bruch{a_{n}}{2}-a_{n}=1-\bruch{a_{n}}{2}=\bruch{2-a_{n}}{2}\le [/mm] 0 weil [mm] a_{n}\le [/mm] 2
Grenzwert:
[mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a und mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}
[/mm]
folgt:
[mm] a=1+\bruch{a}{2} [/mm] |*2
2a=2+a |-a
a=2
Ist es nu besser???
Beschränktheit und Monotonie -> Konvergenz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
>
> >
> > Das kann man nicht immer, aber in diesem Fall klappt das
> > so. Also zeige per Induktion, daß [mm]a_n\le 2[/mm] für alle [mm]n[/mm].
> > Und genau dies hast Du ja gemacht -- im zweiten Teil Deines
> > Beweises.
> > Mit dem solltest Du also aus logischen Gründen
> > beginnen. Im ersten Teil hast Du dann gemerkt, daß die
> > Folge genau dann monoton steigt, wenn alle [mm]a_n \le 2[/mm] sind.
> > (Durch äquivalente Umformungen. ) Nun Interpretiere Deinen
> > Ansatz auch mal gutwillig!
> >
>
> Okay, dass (Induktion) habe ich nochmal aufgeschrieben für
> [mm]a_{n} \le[/mm] 2, weil ich bin ja auf [mm]a_{n-1} \le[/mm] 2 gekommen und
> nicht auf [mm]a_{n} \le[/mm] 2.
Das ist ja nur eine Indexverschiebung. Die Aussage [mm] $a_{n-1} \le [/mm] 2$ für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ ist gleichbedeutend mit [mm] $a_{n}\le [/mm] 2$ für alle $n [mm] \ge [/mm] 0$. Wenn Du übrigens
[mm] $a_n\le a_{n+1} \quad \gdw \quad a_n\le 1+\frac {a_n} [/mm] 2$ vereinfachst, bekommst Du sofort [mm] $a_n\le 2\,.$
[/mm]
>
> Und da ist nun mein Problem, ich komme immer auf [mm]a_{n-1} \le[/mm]
> 2, weshalb mich deine Antwort auch etwas verwirrt (ist
> vermutlich auch gerade nicht sonderlich schwer).
>
>
>
>
> > Deine Vorgehensweise ist übrigens ebenso legitim wie
> > erfolgsversprechend! Versuche die Monotonie zu zeigen,
> > indem Du die Ungleichung durch äquivalente Umformungen
> > vereinfachst. Dabei siehst Du, daß die Folge monoton sind,
> > wenn 2 obere Schranke ist. Und dann kommst Du auf die Idee,
> > diese Schranke mit Induktion zu zeigen.
> >
> Silfide
>
>
> Nachtrag:
> Nochmal (mit hoffentlich geordneteren Gedanken):
>
> [mm]a_{0}=1[/mm] und [mm]a_{n}=1+\bruch{a_{n-1}}{2}[/mm]
>
> Vermutung: Folge ist monoton steigend und mit [mm]a_{n} \le[/mm] 2
> beschränkt.
> Beschränktheit:
>
> Induktionsanfang (n=0): [mm]a_{0}=1 \le[/mm] 2
> Induktionsannahme \ -voraussetzung (IV): [mm]a_{n} \le[/mm] 2
> Induktionsbehauptung: [mm]a_{n+1} \le[/mm] 2
> Induktionsschritt (von n nach n+1):
> [mm]a_{n+1}=1+\bruch{a_{n}}{2} \le[/mm] (wegen IV) [mm]1+\bruch{2}{2}=2[/mm]
>
> Monotonie:
> zu Zeigen [mm]a_{n+1}-a_{n}\le[/mm] 0
>
> [mm]a_{n+1}-a_{n}=1+\bruch{a_{n}}{2}-a_{n}=1-\bruch{a_{n}}{2}=\bruch{2-a_{n}}{2}\le[/mm]
> 0 weil [mm]a_{n}\le[/mm] 2
>
>
> Grenzwert:
> [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a und mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/mm]
>
> folgt:
>
> [mm]a=1+\bruch{a}{2}[/mm] |*2
> 2a=2+a |-a
> a=2
>
>
> Ist es nu besser???
Perfekt!
>
> Beschränktheit und Monotonie -> Konvergenz
Ja!
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Do 29.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> > Ist es nu besser???
>
> Perfekt!
> >
Das ging gerade runter wie Öl.... bin voll erleichtert.
Also DANKE für deine Hilfe und deine Geduld!
Silfide
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