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| Aufgabe | Wir definieren [mm] f_0 [/mm] =0 [mm] f_1 [/mm] =1 und [mm] f_k =f_{k-1}+f_{k-2} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] 2
Zeigen sie, dass [mm] f_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n) [/mm] gilt. |
Hi,
so mein Bauchgefühl sagt mir, dass wird mit vollständiger Induktion gelöst.
Also mal für ein bestimmtes n probiert bei mir n=2, das passt.
Dann wollte ich das für n+1 zeigen, aber irgendwie macht das Probleme:
[mm] f_{n+1}=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})
[/mm]
[mm] f_{n+1}= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}))
[/mm]
und nun komme ich nicht weiter...
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Hallo BigHead,
> Wir definieren [mm]f_0[/mm] =0 [mm]f_1[/mm] =1 und [mm]f_k =f_{k-1}+f_{k-2}[/mm]
> für alle k [mm]\ge[/mm] 2
>
> Zeigen sie, dass [mm]f_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n[/mm] -
> [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)[/mm] gilt.
> Hi,
>
> so mein Bauchgefühl sagt mir, dass wird mit vollständiger
> Induktion gelöst.
Guter Bauch, der Bauch.
> Also mal für ein bestimmtes n probiert bei mir n=2, das
> passt.
> Dann wollte ich das für n+1 zeigen, aber irgendwie macht
> das Probleme:
>
> [mm]f_{n+1}=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
>
> [mm]f_{n+1}= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}))[/mm]
>
> und nun komme ich nicht weiter...
Es gilt ja allgemein [mm] (a-b)\summe_{i=0}^{k}a^{k-i}b^i=a^{k+1}-b^{k+1}
[/mm]
Das kann man hier ganz gut verwenden. 
Trotzdem ist es leichter, Du zeigst die Gültigkeit der Formel auch noch zu Fuß für [mm] f_3 [/mm] und machst dann gleich zweimal die bauchgefühlte Induktion, nämlich einmal für alle [mm] f_{2k} [/mm] und einmal für alle [mm] f_{2k+1}.
[/mm]
Sieht nicht so aus, spart aber nach meiner Erinnerung eine Menge Arbeit.
Grüße
reverend
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