rekursive Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Trapt_ka |
ich kann leider die aufgabe im anhang nicht nachvollziehen vor allem gelint mir dei vollständige induktion nicht. dies ist eigentlich das einzige was ich nicht verstehe da keine lösung angegeben ist und ich leider gar nicht drauf komme wie ih die szu lösen bzw zu berenchnen habe.
wäre foh wenn ich eine beispielrechnung bekommen könnte
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
zunächst kannst Du mal versuchen den Grenzwert, falls er denn existiert, zu erraten, damit die ganze Aufgabe etwas konkreter wird. Angenommen also [mm] a_\infty [/mm] ist ein Grenzwert zu einem STartwert [mm] a_0. [/mm] Dann gilt doch
[mm] a_\infty=a_{\infty+1}=\frac{1}{5}(a_\infty^2+4)
[/mm]
oder
[mm] a_\infty^2-5a_\infty+4=0
[/mm]
d.h. [mm] a_\infty=\frac{1}{2}(5\pm [/mm] 3). Falls also der Grenzwert zu gegebenem [mm] a_0 [/mm] existiert, so ist er entweder 1 oder 4. Insbesondere ist für [mm] a_0=4 [/mm] die Folge konstant gleich 4 und da ist alles klar. Für [mm] a_0=2 [/mm] ist der angegebene Tipp zu verwenden. Damit weißt Du, dass die Folge monoton fällt. Da sie trivialerweise durch 0 von unten beschränkt ist, muss sie auch konvergieren und zwar gegen einen Grenzwert, der zwischen 0 und 2 liegt. D.h. für [mm] a_0=2 [/mm] konvergiert die Folge gegen 1, denn das war ja der einzige mögliche Grenzwert zwischen 0 und 2, wie wir ganz am Anfang gesehen hatten.
Volker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 23.01.2007 | | Autor: | Trapt_ka |
ja so weit war es mir klar aber ich komm einfach nicht auf die vollständige induktion die in der aufgabe angesprochen ist. des weitern ist den diese vollständige induktion von beduetung oder eher nicht.
wäre net wenn mir einer die vollständige induktion mal skizzieren könnte
da ich mit V.I. en grosses Problem habe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mi 24.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Traptka
Es steht ja schon fast alles hier. Sei [mm] $a_0=2$ [/mm] und wir zeigen mit Induktion nach n, dass [mm] $a_{n}
Induktionsverankerung: n=1 Es gilt [mm] $a_1=8/5<2=a_0$
[/mm]
Induktionsschritt: Die Behautpung gelte für n, darf also annehmen, dass [mm] $a_{n}
Jetzt muss ich die Behauptung für n+1 zeigen, ich muss also zeigen, dass dann auch [mm] $a_{n+1}
Aus dem Text entnimmt man [mm] $a_{n+1}-a_{n}=\frac15 (a_{n}-a_{n-1})(a_{n}+a_{n-1})$.
[/mm]
Wegen der Induktionsvoraussetzung ist der erste Fakor rechts negativ, während der zweite Faktor positiv ist, daher ist auch die linke Seite negativ, was zu beweisen war.
mfG Moudi
|
|
|
|
