rekursiv definierte folge. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich hab die rekursive folge
[mm] a_1=1 [/mm] , [mm] a_{n+1}=1/4*a_n^2+1
[/mm]
beim monotonienachweis hab ich raus, dass die Folge monoton bleibt, falls [mm] an\le2 [/mm] ist
beim Beschränktheitsnachweis, hab ich auch 2 raus.
und beim Grenzwert hab ich dann auch 2 raus...
und das Lösungsbuch sagt
[mm] a=2/\wurzel{5} [/mm] :-(
was stimmt denn nun?
Viele Grüße
Philipp
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Hallo Philipp,
ich würde auch sagen, dass der GW 2 ist, denn mit der Monotonie und der Beschränktheit der Folge folgt, dass sie konvergent ist.
Dann ist aber [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$
[/mm]
Setzt man das in diese Rekursionsvorschrift ein, so folgt:
[mm] $a=\frac{1}{4}a^2+1\Rightarrow \frac{1}{4}a^2-a+1=0\Rightarrow \frac{1}{4}\cdot{}(a^2-4a+4)=0\Rightarrow \frac{1}{4}(a-2)^2=0$
[/mm]
Also $a=2$
Gruß
schachuzipus
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gut,dann bin ich ja beruhigt
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