rekursiv definiere reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:47 Sa 27.10.2007 | | Autor: | lum_pi |
| Aufgabe | | beweise, dass die folgende rekursiv definierte reihe [mm] a_{n}=g*a_{n-1} +d*a_{0} [/mm] die folgende explizite darstellung [mm] a_{n}=(g^{n}+\bruch{1-g^{n}}{1-g}*d)*a_{0} [/mm] hat |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hi leute, mir ist schon klar, dass man {n-1} für n einsetzten muss aber wie kommt man dann von der expliziten darstellung auf die rekusive?
danke schonmal für ne antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo lum_pi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Um hier diese Identität von rekursive und expliziter Form zu zeigen, wirst Du wohl einen Nachweis mit vollständiger Induktion führen dürfen.
Zeige also, dass beide Darstellungen für $n \ = \ 0$ dieselben Werte haben (Induktionsanfang).
Im Induktionsschritt musst Du dann zeigen: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(g^{n+1}+\bruch{1+g^{n+1}}{1-g}*d\right)*a_0$ [/mm] .
Dabei verwenden wir auch die rekursive Darstellung:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] g*\red{a_n}+d*a_0 [/mm] \ = \ [mm] g*\red{\left(g^n+\bruch{1+g^n}{1-g}*d\right)*a_0}+d*a_0 [/mm] \ = \ ...$$
Nun weiter umformen, um auf o.g. Term für [mm] $a_{n+1}$ [/mm] zu kommen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Sa 27.10.2007 | | Autor: | lum_pi |
ok vielen dank für den hinweis, dann werd ich das mal versuchen.
ich habe zuerst gedacht, es reicht, wenn man in die explizite darstellung [mm] a_{n} [/mm] für n -> n-1 einsetzt und dann auflöst, sodass man wieder auf die rekursive darstellung kommt (nur das auflösen ist ein problem...)
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