rekursiv def. Folge: < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a_{1} [/mm] = 0
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] (a_{n} [/mm] + [mm] 2)/(a_{n}+3) [/mm] , [mm] n\ge1 [/mm] |
haben probiert die Beschränkheit dann Monotonie und schlussenldich den GW zu bestimmen...
sind aber bei der Beschränktheit
0 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 1
....
auf dieses Ergebnis gekommen:
[mm] (a_{n} [/mm] + 2)/3 [mm] \ge (a_{n} [/mm] + [mm] 2)/(a_{n}+3) \ge (a_{n} [/mm] + 2)/4
wissen hier leider nicht weiter
thx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Matthias!
Wie bist Du denn auf dieses Ergebnis gekommen? Zudem musst Du das wohl in zwei Teilungleichungen zerlegen mit:
$$0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_{n} [/mm] \ \ \ [mm] \text{ und } [/mm] \ \ \ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$$
Dies beiden Ungleichungen kann man z.B. mittels  vollständiger Induktion zeigen.
Gruß vom
Roadrunner
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Beschränktheit haben wir nun so geschafft, danke...
aber bei der Monotonie hackt es noch ein bisschen:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 [mm] a_{n+1} \ge a_{n}
[/mm]
durch umformen kommen wir auf:
[mm] \bruch{-a_{n}^{2}-2\*a_{n}+2}{a_{n}+3} \ge [/mm] 0
was fangen wir mit diesem Ausdruck an?!
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Hallo Matthias!
> [mm]\bruch{-a_{n}^{2}-2\*a_{n}+2}{a_{n}+3} \ge[/mm] 0
Diesen Ausdruck habe ich nunmehr nicht überprüft. Aber einfach weiter umformen ...
Multipliziere zunächst mit [mm] $(a_n+3)$ [/mm] und anschließend mit $-1)_$ (aufpassen mit dem Ungleichheitszeichen.
Dann auf der linken Seite eine binomische Formel herstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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hmm das mit multipliziern und -1 versteh ich noch aber wie bilde ich aus
[mm] a_{n}^{2} [/mm] + [mm] 2a_{n} [/mm] - 2 [mm] \le [/mm] 0
einen Binom bzw wie kann ich dann sagen das dies als Beweis für die Monotomie beweißen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man kein binom hat macht man eins! Also quadratische ergaenzung!
Gruss leduart
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hmm
also wenn ich daraus einen Binom bilden versuche komme ich auf
[mm] a_{n}^{2} [/mm] + [mm] 2a_{n} [/mm] - 2 [mm] \le [/mm] 0
[mm] a_{n}^{2} [/mm] + [mm] 2a_{n} [/mm] +1 - 3 [mm] \le [/mm] 0
[mm] (a_{n} [/mm] + [mm] 1)^{2} [/mm] - 3 [mm] \le [/mm] 0
das hilft mir aber nicht weiter oder :=?
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> [mm]a_{1}[/mm] = 0
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm](a_{n}[/mm] + [mm]2)/(a_{n}+3)[/mm] , [mm]n\ge1[/mm]
> haben probiert die Beschränkheit dann Monotonie und
> schlussenldich den GW zu bestimmen...
Hallo,
dieser Plan ist im Prinzip sinnvoll und gut.
Aber Ihr habt gesehen, daß Ihr bei der Monotonie so nicht weiterkommt, denn Ihr könnt hier ja nicht entscheiden, ob das nun größer oder kleiner Null ist.
Das liegt daran, daß Ihr die obere Schranke zu grob bestimmt habt. Sie ist zwar völlig richtig, und die Beschränktheit der Folge ist gezeigt, aber um dann später bei der Monotonie abzuschätzen, braucht man es genauer. Das konnte man vorher nicht wissen.
Was nun?
Ich würde an Eurer Stelle jetzt mit äußerster Rafinesse ans Werk gehen:
Ihr könnt doch völlig unverbindlich (z.B. auf einem Schmierzettel) mal ausrechnen, welches der Grenzwert wäre, sofern die Folge einen hätte. (Könnt Ihr das? Nennt den Grenzwert z.B. x und arbeitet mit der Rekursionsformel [mm]a_{n+1}= (a_{n} + 2)/(a_{n}+3)[/mm] )
Wenn Ihr den potentiellen Grenzwert (zur Kontrolle: es ist [mm] \wurzel{3}-1) [/mm] habt, startet einen Versuchsballon und versucht per Induktion zu zeigen, daß alle Folgengleider [mm] \le [/mm] diesem sind.
(Das gelingt, wenn man's richtig macht.)
Wenn Ihr das habt, zeigt die Monotonie, indem Ihr [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] berechnet. Mit den neuen Erkenntnissen sollte die Abschätzung [mm] \ge [/mm] 0 gelingen.
Gruß v. Angela
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Ah jetzt hamas kapiert
Vielen Dank angela
nur nochmal zur sicherheit wenn wir bei [mm] -a_{n}^{2}-2\*a_{n} [/mm] + 2 [mm] \ge [/mm] 0
wenn wir hier dann unseren neuen GW von [mm] \wurzel{3}-1 [/mm] einsetzen kommen wir auf [mm] 0\ge [/mm] 0 somit ist die monotomie bewiesen.
mfg Matthias
ps. Falls meine Fragen bisschen lächerlich sein mögen bitten ich um entschuldigung da wir schon in 3 std prüfung haben und bisschen unvorbereitet sind :D
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> Ah jetzt hamas kapiert
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> Vielen Dank angela
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> nur nochmal zur sicherheit wenn wir bei [mm]-a_{n}^{2}-2\*a_{n}[/mm]
> + 2 [mm]\ge[/mm] 0
>
> wenn wir hier dann unseren neuen GW von [mm]\wurzel{3}-1[/mm]
> einsetzen kommen wir auf [mm]0\ge[/mm] 0 somit ist die monotomie
> bewiesen.
Hallo,
naja, ich würde solche Ungleichungen, in denen abgeschätzt wird, niemals mit Äquivalenzumformungen beweisen, man macht zuviele Fehler dabei.
Rechnet [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] aus und schätzt dies zu [mm] \ge [/mm] 0 ab:
[mm] \bruch{a_n +2}{a_n+3} -a_n=\bruch{a_n +2 - a_n^2 - 3a_n}{a_n+3} =\bruch{-a_n² -2a_n +2 }{a_n+3} =\bruch{3-(a_n +1)^2 }{a_n+3} \le [/mm] ...
> ps. Falls meine Fragen bisschen lächerlich sein mögen bitten ich um entschuldigung
Die Probleme sind nicht lächerlich
> da wir schon in 3 std prüfung haben
Viel Erfolg.
> und bisschen unvorbereitet sind :D
Das sollte natürlich niemals vorkommen.
Gruß v. Angela
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