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Forum "Uni-Lineare Algebra" - reiner Tensor
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reiner Tensor: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:10 Sa 23.04.2005
Autor: Gero

Hallöle alle zusammen,

neues Semster -> neue Probleme! *gg*
Ich bräuchte mal wieder eure Hilfe! Sitze jetzt schon ewig an folgender Aufgabe:
"Sei V endlich-dimensional und  [mm] \gamma: [/mm] V*  [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] Lin(V, V ) der kanonische Isomorphismus. V* sei Dualraum.
a.) Zeige: X [mm] \in [/mm] V* [mm] \otimes [/mm] V ist genau dann ein reiner Tensor, wenn [mm] Rang(\gamma(X)) \le [/mm] 1 ist.
b.) Sei S : V* [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] K linear, definiert durch [mm] S(\alpha \otimes [/mm] v) = [mm] \alpha(v). [/mm]
Zeige: S = Spur [mm] \circ \gamma." [/mm]

Kann mir jemand vielleicht helfen? Danke schonmal im voraus und noch ein schönes Wochenende!

Gero

        
Bezug
reiner Tensor: Ich versuche es mal
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 So 24.04.2005
Autor: Gnometech

Hallo!

Also, auf Anhieb sehe ich eine Richtung von a) und Teil b)... das poste ich mal, die andere Richtung von a) kannst dann ja selbst versuchen. :-)

Sei erstmal [mm] $e_1, \ldots, e_n$ [/mm] eine Basis von $V$. Ist $v [mm] \in [/mm] V$ und $l [mm] \in [/mm] V°*$, so gibt es Koeffizienten [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] bzw. [mm] $l_1, \ldots, l_n$ [/mm] mit

$v = [mm] \sum_{i=1}^n v_i e_i$ [/mm] und $l = [mm] \sum_{i=1}^n l_i e_i^*$. [/mm]

Man kann auch sagen, es gilt [mm] $l_i [/mm] = [mm] l(e_i)$. [/mm]

Zu a), eine Richtung: sei also $X = l [mm] \otimes [/mm] v$ ein reiner Tensor. Dann ist die Matrix von [mm] $\gamma(X)$ [/mm] gegeben durch $S = [mm] (v_i \cdot l_j)_{i,j}$. [/mm] Daraus sieht man aber bereits, dass je zwei Zeilen Vielfache voneinander sind. Und damit ist der Rang von [mm] $\gamma(X)$ [/mm] 1 oder gar 0.

Zu b): auch das sieht man an der Matrixdarstellung. Schließlich ist $l(v) = [mm] \sum_{i=1}^n l_i v_i [/mm] = [mm] \mbox{Spur}(S)$. [/mm]

Lars

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