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| Aufgabe | Definition: Eine nicht-negative additive Mengenfunktion [mm]\phi[/mm] auf [mm]E[/mm] (E=Menge der elementaren Teilmengen des [mm]\mathbb{R}^n[/mm])heißt regulär, falls folgendes gilt: Für jedes [mm] A \in E[/mm] und jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] existieren [mm]F,G \in E[/mm] mit [mm]F[/mm] abgeschlossen, [mm]G[/mm] offen, [mm]F \subseteq A \subseteq G [/mm] und
[mm] \phi(G) - \epsilon \leq \phi(A) \leq \phi(F) + \epsilon [/mm]
Beweis: Ist A ein Intervall und hat A die Grenzen a und b, so wähle falls [mm] a_j < b_j [/mm] für kleines [mm]\delta > 0[/mm]
[mm] F = \{a_j + \delta \leq x_j \leq b_j - \delta\}[/mm] und [mm]G = \{a_j-\delta < x_j < b_j+\delta\}[/mm] |
Hi, ich verstehe die Konstruktion der Mengen nicht für die die obige Definition einer regulären Mengenfunktion gültig sein soll. Für F=A=G kann ich die Definition noch nachvollziehen.
Habt ihr da einen Tipp für mich?
Danke schonmal
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Hiho,
was sollst du überhaupt zeigen?
Du schreibst eine Definition, da ist nix zu zeigen.
Dann fängt du an mit "Beweis".
Dann: Was sind für dich "elementare Teilmengen"?
Und: Du kannst es also für F=A=G nachvollziehen. Dann wäre A aber sowohl offen als auch abgeschlossen und damit wäre $A = [mm] \IR^n$ [/mm] oder $A = [mm] \emptyset$. [/mm] Ist dir das klar?
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Do 19.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Definition: Eine nicht-negative additive Mengenfunktion
> [mm]\phi[/mm] auf [mm]E[/mm] (E=Menge der elementaren Teilmengen des
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm])heißt regulär, falls folgendes gilt: Für
> jedes [mm]A \in E[/mm] und jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] existieren [mm]F,G \in E[/mm]
> mit [mm]F[/mm] abgeschlossen, [mm]G[/mm] offen, [mm]F \subseteq A \subseteq G[/mm]
> und
> [mm]\phi(G) - \epsilon \leq \phi(A) \leq \phi(F) + \epsilon[/mm]
>
> Beweis: Ist A ein Intervall und hat A die Grenzen a und b,
> so wähle falls [mm]a_j < b_j[/mm] für kleines [mm]\delta > 0[/mm]
> [mm]F = \{a_j + \delta \leq x_j \leq b_j - \delta\}[/mm]
> und [mm]G = \{a_j-\delta < x_j < b_j+\delta\}[/mm]
> Hi, ich verstehe
> die Konstruktion der Mengen nicht für die die obige
> Definition einer regulären Mengenfunktion gültig sein
> soll. Für F=A=G kann ich die Definition noch
> nachvollziehen.
> Habt ihr da einen Tipp für mich?
Der este Tipp: gewöhne Dir Deine Schlampigkeit ab. Die ist in der Mathematik tödlich !
Seien [mm] a=(a_1,...,a_n) [/mm] , [mm] b=(b_1,....,b_n) \in \IR^n [/mm] und [mm] a_j \le b_j [/mm] für j=1,...,n.
Dann heißt
(*) $A: [mm] =\{(x_1,...,x_n) \in \IR^n: a_j \le x_j \le b_j \quad (j=1,...,n)\}$
[/mm]
ein Intervall.
Man setzt: [mm] m(A):=\produkt_{j=1}^{n})(b_j-a_j).
[/mm]
Ist nun B disjunkte Vereinigung von Intervallen [mm] A_1,..., A_k, [/mm] so setze
(**) [mm] m(B):=\summe_{j=1}^{k}m(A_k).
[/mm]
Eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] heißt elementar, wenn sie sich als endliche Vereinigung von Intervallen schreiben lässt.
E bezeichnet die Menge aller elementaren Mengen.
Nun kann man zeigen: ist B [mm] \in [/mm] E , so gibt es paarweise disjunkte Intervalle [mm] A_1,...,A_k [/mm] mit
[mm] B=\bigcup_{j=1}^{k}A_k
[/mm]
Mit (**) ist dann m auf E definiert. Mann kann zeigen: m ist auf E additiv.
Nun lass mich raten: Du sollst zeigen, dass obige Mengenfunktion auf E regulär ist ? Stimmts ?
Dazu wird zunächst gezeigt: ist A wie in (*) , so gibt es zu $ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ Mengen $ F,G [mm] \in [/mm] E $ mit $ F $ abgeschlossen, $ G $ offen, $ F [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] G $ und
(+) $ m(G) - [mm] \epsilon \leq [/mm] m(A) [mm] \leq [/mm] m(F) + [mm] \epsilon [/mm] $ .
Die Mengen F und G lauten ausführlich so:
$ F = [mm] \{(x_1,...,x_n): a_j + \delta \leq x_j \leq b_j - \delta \quad (j=1,...,n)\} [/mm] $ und $ G = [mm] \{(x_1,...,x_n): a_j-\delta < x_j < b_j+\delta \quad (j=1,...,n)\} [/mm] $,
wobei hier vorausgesetzt wird, dass [mm] a_j [/mm] < [mm] b_j [/mm] für j=1,...,n ist.
F ist abgeschlossen und G ist offen. Nun überlege Dir, wie Du [mm] \delta [/mm] >0 wählen musst, damit (+) gilt.
Gedanken muss man sich noch machen, wenn [mm] a_j=b_j [/mm] für ein j gilt.
FRED
>
> Danke schonmal
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Danke für die Antwort!
[mm]A:=\{a_j \le x_j \le b_j\}, a:=\{aj: j \in \mathbb{N}\}, b:=\{bj: j \in \mathbb{N}\}[/mm]
So wie ich das verstanden habe, sucht man zu einem beliebigen [mm]A\in E[/mm] für ein beliebiges [mm]\epsilon > 0[/mm] die Mengen [mm] F,G \in E[/mm], mit [mm]F[/mm] abgeschlossen, [mm]G[/mm] offen, so dass für [mm]F \subseteq A \subseteq G[/mm] der Zusammenhang
[mm]m(G) - \epsilon \le m(A) \le m(F) + \epsilon[/mm]
gilt, denn dann ist die Mengenfunktion m (wie oben im Beitrag definiert) regulär.
Um zu beweisen, dass die oben definierte Mengenfunktion regulär ist, konstruiert man sich also zwei Mengen [mm]F, G \in E[/mm]:
[mm]F:= \{ a_j+\delta \le x_j \le b_j-\delta\}[/mm] (abgeschlossen)
und
[mm]G:= \{ a_j-\delta < x_j < b_j+\delta\}[/mm] (offen)
wobei [mm] a_j < b_j[/mm] vorausgesetzt wird.
Jetzt ist die Frage, wie mein [mm]\delta[/mm] beschaffen sein muss, so dass die Mengen [mm]F,G[/mm] die obige Definition von regulären Mengenfunktionen erfüllen.
Schreibe dafür:
[mm]m(G) = b_j+\delta - a_j+\delta = b_j-a_j+2\delta[/mm]
[mm]m(F) = b_j-\delta - a_j -\delta = b_j - a_j -2\delta[/mm]
[mm]m(A) = b_j-a_j[/mm]
Eingesetzt in die Definition für reg. Mengenfkt. ergibt sich dann:
[mm]b_j-a_j+2\delta - \epsilon \le b_j-a_j \le b_j - a_j -2\delta + \epsilon[/mm]
Daraus ergibt sich für [mm]\delta[/mm]:
[mm]\delta \le \frac{\epsilon}{2}[/mm]
Weiter verfeinern kann man dies noch, in dem man sich die Mengenkonstruktion für [mm]F[/mm] anschaut. Daraus ergibt sich ein Maximum für [mm]\delta[/mm] aus:
[mm]a_j+\delta = b_j-\delta \Leftrightarrow \delta = \frac{b_j -a_j}{2}[/mm]
Daraus ergibt sich für [mm]\delta[/mm] die Ungleichung:
[mm]\delta \le \frac{b_j -a_j}{2} \le \frac{\epsilon}{2}[/mm]
Mit dieser Ungleichung und [mm]A[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] vorgegeben, kann man sehr gut
Mengen [mm]F,G[/mm] konstruieren für die die Definition klappt.
Für [mm]a_j=b_j[/mm] hat man ein Problem, denn G ist ja offen und es würde dann
[mm]A \subseteq G[/mm] nicht gelten. Man könnte sich aber behelfen, in dem man
[mm]G:= \{ a_j-2\delta < x_j < b_j+2\delta\}[/mm] (offen)
angibt.
So habe ich das bisher verstanden und so würde es für mich auch Sinn machen.
Viele Grüße
Matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Di 24.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort!
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> [mm]A:=\{a_j \le x_j \le b_j\}, a:=\{aj: j \in \mathbb{N}\}, b:=\{bj: j \in \mathbb{N}\}[/mm]
Das ist doch kompletter Unsinn !!! Wie A definiert ist, habe ich Dir doch oben geschrieben, warum machst Du einen derartigen Quatsch daraus ?
>
> So wie ich das verstanden habe, sucht man zu einem
> beliebigen [mm]A\in E[/mm] für ein beliebiges [mm]\epsilon > 0[/mm] die
> Mengen [mm]F,G \in E[/mm], mit [mm]F[/mm] abgeschlossen, [mm]G[/mm] offen, so dass
> für [mm]F \subseteq A \subseteq G[/mm] der Zusammenhang
>
> [mm]m(G) - \epsilon \le m(A) \le m(F) + \epsilon[/mm]
>
> gilt, denn dann ist die Mengenfunktion m (wie oben im
> Beitrag definiert) regulär.
>
> Um zu beweisen, dass die oben definierte Mengenfunktion
> regulär ist, konstruiert man sich also zwei Mengen [mm]F, G \in E[/mm]:
>
> [mm]F:= \{ a_j+\delta \le x_j \le b_j-\delta\}[/mm] (abgeschlossen)
>
> und
>
> [mm]G:= \{ a_j-\delta < x_j < b_j+\delta\}[/mm] (offen)
>
> wobei [mm]a_j < b_j[/mm] vorausgesetzt wird.
Wie F und G ausführlich (und korrekt) def. sind, habe ich Dir oben ebenfalls mitgeteilt !!
>
> Jetzt ist die Frage, wie mein [mm]\delta[/mm] beschaffen sein muss,
> so dass die Mengen [mm]F,G[/mm] die obige Definition von regulären
> Mengenfunktionen erfüllen.
> Schreibe dafür:
>
> [mm]m(G) = b_j+\delta - a_j+\delta = b_j-a_j+2\delta[/mm]
> [mm]m(F) = b_j-\delta - a_j -\delta = b_j - a_j -2\delta[/mm]
>
> [mm]m(A) = b_j-a_j[/mm]
Jetzt fühle ich mich aber echt verarscht ! Wie die Mengenfunktion m für Intervalle def. ist, habe ich Dir oben geschrieben. Und was machst Du daraus: bodenlosen Unsinn.
FRED
>
> Eingesetzt in die Definition für reg. Mengenfkt. ergibt
> sich dann:
>
> [mm]b_j-a_j+2\delta - \epsilon \le b_j-a_j \le b_j - a_j -2\delta + \epsilon[/mm]
>
> Daraus ergibt sich für [mm]\delta[/mm]:
>
> [mm]\delta \le \frac{\epsilon}{2}[/mm]
>
> Weiter verfeinern kann man dies noch, in dem man sich die
> Mengenkonstruktion für [mm]F[/mm] anschaut. Daraus ergibt sich ein
> Maximum für [mm]\delta[/mm] aus:
>
> [mm]a_j+\delta = b_j-\delta \Leftrightarrow \delta = \frac{b_j -a_j}{2}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich für [mm]\delta[/mm] die Ungleichung:
>
> [mm]\delta \le \frac{b_j -a_j}{2} \le \frac{\epsilon}{2}[/mm]
>
> Mit dieser Ungleichung und [mm]A[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] vorgegeben, kann
> man sehr gut
> Mengen [mm]F,G[/mm] konstruieren für die die Definition klappt.
>
> Für [mm]a_j=b_j[/mm] hat man ein Problem, denn G ist ja offen und
> es würde dann
> [mm]A \subseteq G[/mm] nicht gelten. Man könnte sich aber behelfen,
> in dem man
> [mm]G:= \{ a_j-2\delta < x_j < b_j+2\delta\}[/mm] (offen)
>
> angibt.
>
> So habe ich das bisher verstanden und so würde es für
> mich auch Sinn machen.
>
> Viele Grüße
>
> Matthias
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