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| Aufgabe | finde eine reguläre Matrix S , so dass
S^-1*A*S=B
[mm] A=\pmat{ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&1 \\1 &-3&3 }
[/mm]
EDIT: [mm] B=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 1 & 1&0 \\0 &1&1 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nunja ich sitz halt schon geschlagene anderthalb stunden an dieser Aufgabe und weiß nicht so wirklich weiter,
vielleicht kann mir einer nen Tipp geben, würde natürlich eigentlich lieber selber drauf kommen aber grad ist bei mir die Reizschwelle überwunden !!!
Ich hab sowas versucht wie S=A^-1*B zu setzen (und noch ein paar andere Kombinationen) bis mir aufgefallen is, dass das quatsch ist. natürlich gibs noch die Möglichkeit 9 Gleichungen mit 9 unbekannten aufzustellen, aber dass ist mir erstens zu umständlich und zweitens zu unschön, da muss es doch einen schöneren Weg geben
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> finde eine reguläre Matrix S , so dass
> S^-1*A*S=B
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&1 \\1 &-3&3 }[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 1 & 1&0 \\0 &0&1 }[/mm]
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> ...
> vielleicht kann mir einer nen Tipp geben, würde natürlich
> eigentlich lieber selber drauf kommen aber grad ist bei mir
> die Reizschwelle überwunden !!!
Einige Hinweise:
die Matrizen sind ähnlich, sie beschreiben dieselbe lineare Abbildung f bezüglich verschiedener Basen.
Die Matrix S ist die Matrix, die Dir eine Basistransformation machen soll.
Sei [mm] B_A:=(e_1,e_2,e_3) [/mm] die Basis, bzgl. derer A die Abbildung beschreibt.
Sei [mm] B_B:=(b_1,b_2,b_3) [/mm] die Basis, bzgl. derer B die Abbildung beschreibt.
Wenn Du Dir die Matrix genau anschaust, siehst Du, daß [mm] b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind.
Deren Darstellung in Koordinaten bzgl. [mm] B_A [/mm] kannst Du berechnen, indem Du die Eigenbektoren von A berechnest.
Ich hoffe, Dich damit auf einen guten Weg gebracht zu haben.
Noch eins: wenn Du es im Laufe Deiner Bemühungen mit Spaltenvektoren zu tun hast, ist es möglicherweise hilfreich, wenn Du kennzeichnest, bzgl. welcher Basis die sind. Man kommt dan nicht so leicht durcheinander und weiß (im Idealfall) zu jeder Zeit, was man gerade tut.
Ich meine das so: [mm] \vektor{1 \\ 2\\3}_{B_A} [/mm] - das bedeutet dann [mm] 1*e_1+2*e_2+3*e_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für die schnelle Antwort. Sowas in der Art habe ich mir auch schon überlegt, nur muss ich zunächst einen Fehler beheben.
B=1 0 0
1 1 0
0 1 1
Somit haben bei 1 als dreifache Nullstelle (da ja auch das charackteristische Polynom ähnlicher Matrizen gleich ist)
aber A den Eigenvektor (1,1,1) und B (0,0,1)
was mich auf den gedanken brachte , dass a3j=1 (j=1,2,3) für S. Kann man das sagen? (bzw. verstehen ;) )
vielleicht werde ich mich gleich nochma ein paar gedanken machen obwohl ich grad ziemlich geschlaucht bin. sons muss es morgen ne Lösung geben .....
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> Hallo Angela,
> danke für die schnelle Antwort. Sowas in der Art habe ich
> mir auch schon überlegt, nur muss ich zunächst einen Fehler
> beheben.
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> [mm] B=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 1 & 1&0 \\0 &1&1 } [/mm]
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> Somit haben bei 1 als dreifache Nullstelle (da ja auch das
> charackteristische Polynom ähnlicher Matrizen gleich ist)
> aber A den Eigenvektor (1,1,1) und B (0,0,1)
> was mich auf den gedanken brachte , dass a3j=1 (j=1,2,3)
> für S. Kann man das sagen? (bzw. verstehen ;) )
Hallo,
verstehen kann ich das gut.
Es muß aber heißen si3=1 (i=1,2,3), denn es geht ja um die 3.Spalte von [mm] S:=(s_{ij}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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