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| Aufgabe | | Es soll die Menge aller x [mm] \in \IR [/mm] bestimmt werden, für die x [mm] \le 2+\wurzel{x+4} [/mm] erüllt ist. |
Hallo miteinander,
bei der Umformung der Gleichung komme ich auf folgenden Widerspruch:
|Wegen des Ausdrucks unter der Wurzel muss x [mm] \ge [/mm] -4 sein
x-2 [mm] \le \wurzel{x+4} [/mm] |Quadrieren
[mm] (x-2)^{2} \le [/mm] x+4
[mm] x^{2}-4x+4 \le [/mm] x+4
[mm] x^{2}-5x \le [/mm] 0
x(x-5) [mm] \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 5
Die Lösungsmenge ist also x [mm] \in [/mm] [-4;5]
Nun herrscht ein Widerspruch zur zweiten Zeile [mm] (x-2)^{2} \le [/mm] x+4 ...denn durch Einsetzen von -4 ergibt sich 36 [mm] \le [/mm] 0 ->Widerspruch...
Ist die Lösungsmenge folglich nur x [mm] \in [/mm] [2;5] oder kann ich o.a. Menge als Lösungsmenge verwenden???
Bin dankbar für jeden Hinweis!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jacques!
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
dein Hinweis ist mir geläufig, nur weiß ich nicht so recht, was das mit meiner Frage zu tun hat?
Ich meine, durch das Wuadrieren gehen ja Lösungen verloren. Hat deshalb die erste oder die zweite Lösungsmenge Gültigkeit?
MfG
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>>>> x $ [mm] \le 2+\wurzel{x+4} [/mm] $
Hallo,
vorm Rechnen würde ich erstmal denken.
Wie Du richtig erkannt hast, ist das üüberhaupt nur für [mm] x\ge [/mm] -4 definiert.
Weil die Wurzel immer nichtnegativ ist, sieht man, daß die Ungleichung automatisch für alle x mit [mm] -4\le x\le [/mm] 2 erfüllt ist.
Nun kann man anfangen zu rechen.
Es sei [mm] x\ge [/mm] 2.
Es soll gelten:
x-2 [mm] \le 2+\wurzel{x+4}.
[/mm]
da [mm] x-2\ge [/mm] 0 kann man ohne Fallunterscheidungen quadrieren.
Bei Deiner Rechnung hättest Du unterscheiden müssen zwischen pos x-2 und neg. x-2.
die weitere Rechnung ergibt
>>> x(x-5) $ [mm] \le [/mm] $ 0
==> [mm] (x\le [/mm] 0 und [mm] x\ge [/mm] 5) oder [mm] (x\ge [/mm] 0 und [mm] x\le [/mm] 5)
==> [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] x\le [/mm] 5
und da wir hier überhaupt nur [mm] x\ge [/mm] 2 betrachten, erhält man [mm] 2\le x\le [/mm] 5,
zusammen mit obigen Überlegungen also das Lösungsintervall [-4,5], welches Du ja auch schon ermittelt hattest.
Gruß v. Angela
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