rechtseitig stetiges Martingal < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen,
In einem Beweis, verstehe ich folgende Aussage nicht ganz:
Sei [mm] $M=(M_t)$ [/mm] eine rechtseitig stetiges Martingal, dann definiert man
[mm]\tau_1:=\inf\{t\ge 0| M_t>c\}[/mm]
für ein $c>0$.
Dies ist eine Stopzeit, da die Menge [mm] $\{M_t>c\}=\{M_t\le c\}^c$ [/mm] und letzteres ist [mm] $\mathcal{F}_t$-messbar, [/mm] da $M$ ein Martingal ist. Richtig?
Nun wird gesagt, dass auf der Menge [mm] $\{\tau_1\le t\}$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] M_{\tau_1\wedge t}=M_{\tau_1}\ge c[/mm]
Weil $M$ rechtsseitig stetig ist. Wieso wird hier rechtsseitige Stetigkeit gebraucht?
Dankeschöööööön
hula
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Hiho,
> Weil [mm]M[/mm] rechtsseitig stetig ist. Wieso wird hier
> rechtsseitige Stetigkeit gebraucht?
ganz banal gesagt, weil die Folgerung sonst nicht gelten würde 
Mach dir das mal an einer ganz "normalen" nicht rechtsstetigen Funktion im Rellen klar, bspw. der [mm] $\text{sgn}$ [/mm] - Funktion.
Definieren wir:
$ [mm] \tau_1:=\inf\{t\ge 0| \text{sgn}(t)> 0.1 \} [/mm] $
Dann ist [mm] $\tau_1 [/mm] = 0$, aber [mm] $\text{sgn}(\tau_1)=\text{sgn}(0) [/mm] = 0$.
MFG,
Gono.
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