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Hallo liebe Helfenden,
ich habe mal wieder ein Problemchen.
Die drei Zahlen t, u und v stehen in folgendem Zusammenhang:
[mm] t^2 [/mm] = 156 - [mm] v^2
[/mm]
[mm] u^2 [/mm] = 133 - [mm] v^2
[/mm]
Ich würde gerne wissen, ob es rationale Tripel (t,u,v) gibt, die diese Gleichungen erfüllen.
Natürlich habe ich diese Frage nur in diesem Forum gestellt; leider habe ich keine Ahnung (mehr), wie man hier die Existenz rationaler Lösungen zeigen oder ausschließen kann.
Hugo
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Hallo Hugo,
wenn Du die 2te nach v² umstellst und in die 1te einsetzt
hast Du die Antwort fast schon:
ersteinmal beliebig viele rationale (t,u),
einsetzen
in v² = 133 - u²
erfordert dann einen Nenner 2*m²
...
und nach quadratischer Ergänzung
ist
wieder (a+b)(a-b) anwendbar,
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Hallo Friedrich,
ich hab versucht, deinen Vorschlag nachzuvollziehen, bin aber kläglich gescheitert.
Ich hatte leider einen Fehler in der Angabe gemacht; die Gleichungen lauten:
(1) [mm] t^2+v^2=156^2
[/mm]
(2) [mm] u^2+v^2=133^2
[/mm]
Ich hatte also bei den Zahlen die Quadrate vergessen.
Das macht aber nix, weil sich beim Einsetzen einer Gleichung in die andere statt:
[mm] t^2-u^2=23 [/mm] die Gleichung
(3) [mm] t^2-u^2=289\cdot23 [/mm] ergibt, d.h. die Lösungen die oberen Gleichung unterscheiden sich von denen der unteren um den Faktor 17, der ja zum Glück ziemlich rational ist.
Mein Problem ist eigentlich immer noch, dass ich immer nur eine der drei Gleichungen rational lösen kann, die anderen werden dann nicht erfüllt.
Es ist übrigens inzwischen nicht mehr sooo wichtig, weil mir (wie ich festgestellt habe) auch rationale Lösungen in diesem Fall nicht weiterhelfen (wie ich es ursprünglich vermutet hatte).
Ich würde aber dennoch gerne wissen, ob dieses Gleichungssystem auch nichttriviale rationale Lösungen besitzt.
Klar ist, dass (t,u,v)=(156,133,0) in vier Vorzeichenvarianten eine Lösung ist. Ich behaupte aber, dass es keine weiteren rationalen Lösungen gibt.
Hugo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Nimue |
Hi
Was haltet ihr davon über Pythagoräische Tripel zu argumentieren. Das war das erste, was mir bei den Gleichungen eingefallen ist.
Und nach langem rumprobieren ist mir aufgefallen, daß 133²=u²+v² nur die triviale Lösung u=133, v=0 (bzw. umgekehrt) hat.
Grüße
Nimue
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nimue!
Ich fürchte du hast dir aber nur die ganzzahligen Lösungen angeschaut, oder?
Gefragt war ja ob es weitere rationale Lösungen gibt.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Nimue |
Hi Stefan
ups.... Wer lesen kann ist klar im vorteil :). Habs irgendwie geschafft diesen Teil total zu ignorieren. Danke.
Gruß
Nimue
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Hallo Nimue,
diese Idee hatte ich auch schon, aber wie Stefan richtig erkannt hat, geht es darum, Lösungen in [mm] \IQ^3 [/mm] zu finden, d.h. z.B.
[mm] \left(\frac{3}{5}\cdot133\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\frac{4}{5}\cdot133\right)^2 [/mm] = [mm] 133^2
[/mm]
ist eine mögliche Lösung.
Ich hab auf diesem Weg schon einige Tripel durchprobiert, aber ohne Erfolg.
Das Prinzip ist immer das Gleiche:
156 bzw. 133 werden durch die Hypotenuse geteilt, so das zusammen mit den Katheten k und l immer eine Lösung der einzelnen Gleichungen entsteht, z.B.
[mm] \left(\frac{36}{325}\cdot133\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\frac{323}{325}\cdot133\right)^2 [/mm] = [mm] 133^2
[/mm]
[mm] \left(\frac{36}{164}\cdot156\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\frac{160}{164}\cdot156\right)^2 [/mm] = [mm] 156^2
[/mm]
[mm] \left(\frac{36}{111}\cdot12345\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\frac{105}{111}\cdot12345\right)^2 [/mm] = [mm] 12345^2
[/mm]
[mm] \left(\frac{36}{85}\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\frac{77}{85}\right)^2 [/mm] = 1
Es geht im Grunde immer nur um pythagoreische Tripel mit der Hypotenuse 1, den Rest kann man sich zurechtmultiplizieren.
Hugo
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ja, ist und bleibt falsch, nicht nur arithmetik, auch das h ist nicht richtig eingesetz :(
Hallo, Hugo, alle
ist der Anhang nun ein Beweis der Unlösbarkeit?
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Gruß F.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo Friedrich,
ich habe deine Lösung mal durchgesehen und verstehe jetzt, worauf du hinaus willst.
Leider sind einige Fehler drin, z.B. 489 statt 289, deswegen hab ich sie mal als fehlerhaft markiert. Z.B. kann ich dadurch die zweite Zerlegung gemäß der dritten binomischen gar nicht mehr durchführen (außer ich hab nmich selbst auch verrechnet).
Aber Danke für deine Hilfe.
Hugo
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Hallo Hugo,
ist halt ein "Kampf"; hier ein hoffentlich richtigerer und übersichtlicherer
Ansatz, aber den weiterführen davor graut mir.
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo Friedrich,
danke für die Mühe, die du dir für mich gemacht hast.
Ich habe wenigstens das Gefühl, dass ich nicht so doof bin, wie ich anfangs gedacht habe. Offensichtlich geht es wohl nicht so leicht, diese Frage zu beantworten.
Ich werde außerdem das Gefühl nicht los, dass man sich nur im Kreis dreht. Statt der Zahlen t und u hat man dann 2 neue Zahlen, mit denen man das Spiel wieder von vorne beginnen muss.
Auf jeden Fall Danke
Hugo
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