rang in zshg mit bild / kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 06.05.2008 | | Autor: | nills2k |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Aufgabe 3
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über C mit n > 1 und phi ein Endomorphismus von V mit
Bild phi ist teilmenge von Kern phi: bestimmen sie in Abhängigkeit des Ranges von
(a) das Minimalpolynom von ,
(b) das charakteristische Polynom von ,
(c) die Jordansche Normalform von . |
wie setze ich für aufgabe a an? also habe mir folgendes überlegt. da kern phi alle vektoren enthält die auf 0 abbilden und bild phi darin enthalten ist, enthält bild phi auch nur vektoren die auf 0 abbilden.
die eigenwerte sind 0. damit ist das char. pol. [mm] x^n [/mm] und das minimale [mm] x^s. [/mm] nur wie komm ich weiter.
mfg christoph
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hi,
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Aufgabe 3
> Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über C mit n > 1 und
> phi ein Endomorphismus von V mit
> Bild phi ist teilmenge von Kern phi: bestimmen sie in
> Abhängigkeit des Ranges von
> (a) das Minimalpolynom von ,
> (b) das charakteristische Polynom von ,
> (c) die Jordansche Normalform von .
> wie setze ich für aufgabe a an? also habe mir folgendes
> überlegt. da kern phi alle vektoren enthält die auf 0
> abbilden und bild phi darin enthalten ist, enthält bild phi
> auch nur vektoren die auf 0 abbilden.
>
> die eigenwerte sind 0. damit ist das char. pol. [mm]x^n[/mm] und das
> minimale [mm]x^s.[/mm] nur wie komm ich weiter.
die entscheidende beobachtung ist, dass [mm] $\phi(\phi(v))=0$ [/mm] ist für alle vektoren v, das bedeutet nichts anderes als dass [mm] $\phi^2=0$ [/mm] ist.
damit ist [mm] \phi [/mm] "höchst" nilpotent, besitzt also nur den eigenwert 0, richtig. darüberhinaus kannst du aber auch aussagen über die jordanblöcke machen... so kommst du dann auf das minimalpolynom sowie die JNF.
gruss
matthias
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> mfg christoph
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