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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^5}{2^n+3^n} [/mm] |
dies würde ich mit dem quotientenkriterium lösen. also [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] <1 würde sie konvergieren für > 1 divergieren... kann ich dort einfach n=1 und n=2 einsetzen und den quotienten errechnen und somit konvergenz bzw divergenz zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Nein, es müsste [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$ [/mm] sein für fast alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] d.h. für alle bis auf höchstens endlich viele. Divergenz folgt auch nur, falls [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$ [/mm] für fast alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Die Beträge sind i.A. auch wichtig!
Gruß, Robert
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wenn ich das aber mit [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] rechne komme ich auf werte die sind jenseits von gut und böse.... das ist doch net der sinn oder mache ich da etwas falsch?... seh da keinen vereinfachungschritt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Wurzelkriterium?
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beim wurzelkriterium weiß ich net so recht wie ich dass machen soll... ich habe doch im zähler und nenner unterschiedliche exponenten vorliegen und somit kann ich das doch nicht auf eine wurzel zurück führen oder soll ich das für zähler und nenner einzeln die wurzel ziehn und dann quotientenkriterium?
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wenn ich das durch rechne mit wurzelkriterium rechne kommt 1/2 bei mir raus, dass is kleiner 1 somit konvergiert die reihe?
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Hallo nochmal,
> wenn ich das durch rechne mit wurzelkriterium rechne ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") kommt
> 1/2 bei mir raus,
ich komme zwar auf [mm] $\frac{1}{3}$, [/mm] aber das ist für die Folgerung egal
> dass ist kleiner 1 somit konvergiert die
> reihe?
Ja, das tut sie!
LG
schachuzipus
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Hallo Algebra_lover,
> beim wurzelkriterium weiß ich net so recht wie ich dass
> machen soll... ich habe doch im zähler und nenner
> unterschiedliche exponenten vorliegen und somit kann ich
> das doch nicht auf eine wurzel zurück führen oder soll ich
> das für zähler und nenner einzeln die wurzel ziehn und dann
> quotientenkriterium?
Hää?
Wieso klappt das mit dem QK denn nicht? Das geht doch wunderbar!
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)^5}{2^{n+1}+3^{n+1}}\cdot{}\frac{2^n+3^n}{n^5}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^5\cdot{}\frac{3^n+2^n}{3\cdot{}3^n+2\cdot{}2^n}$
[/mm]
Hier geht der erste Faktor für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 1, im anderen klammere im Zähler und Nenner [mm] $3^n$ [/mm] aus, dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$
[/mm]
LG
schachuzipus
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