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| Aufgabe | ein quaternion ist eine zahl
[mm] x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k
[/mm]
mit reellen Zahlen [mm] x_{0},x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] kann man i,j,k wie anti-kommutierende Variable behandeln .(beweis?)also ab=-ba
treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln (1),(2),(3)
[mm] i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 [/mm] (1)
ersetzen |
wie folgert man denn aus dieser ersten einleuchtenden rechenregel
ij=k;jk=i;ki=j (2)
und ijk=-1 ? (3)
wie [mm] (1)\Rightarrow [/mm] (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (3) ?
ich habe herumgerechnet aber ich komme einfach nicht drauf
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen#Rechenregeln
von da hab ich die infos benutzt und verwendet
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Hallo pumpernickel,
die zweite Regel folgert man nicht, die setzt man.
Erst die dritte folgt aus den andern beiden.
Es ist das Verdienst Hamiltons, die ersten beiden Regeln gefunden und dann gezeigt zu haben, dass sich so eine widerspruchsfreie Algebra ergibt.
Dir ist sicher bekannt, dass es noch andere ![[]](/images/popup.gif) hyperkomplexe Zahlen gibt.
Die ganze Anstrengung der Konstruktion solcher Algebren fußte übrigens auf der Suche nach einem System von Ternionen, von denen man neue und universelle Beschreibungen des uns zugänglichen Erfahrungsraum [mm] \IR^3 [/mm] erwartete. Ich meine, dass der Beweis ihrer Unmöglichkeit auch auf Hamilton zurückgeht, aber das müsste sich ja auch leicht nachschlagen lassen.
lg
reverend
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hallo reverend
danke für die antwort.ist die antikommutativität denn auch gesetzt?
denn die brauche ich ja für die rechenregeln
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke für die antwort.ist die antikommutativität denn
> auch gesetzt?
Was meinst du mit gesetzt?
Wenn du die Quaternionen definieren willst, brauchst du Axiome; aus diesen sollten alle Regeln ableitbar sein. Worauf reverend hinauswill: Wenn du (1) und die Anti-Kommutativitaet als Axiome nimmst, kannst du (hoechstwahrscheinlich) nicht (2) und (3) folgern.
Deine urspruengliche Frage ist auch etwas unklar. Nimmst du an, dass die Menge [mm] $\{ a + b i + c j + d k \mid a, b, c, d \in \IR \}$ [/mm] eine Algebra bildet, dass $i, j, k$ Antikommutieren und dass [mm] $i^2 [/mm] = [mm] j^2 [/mm] = [mm] k^2 [/mm] = -1$ gilt? Und du willst dann (2) und (3) zeigen? Oder nimmst du an, dass du Variablen $i, j, k$ in einer [mm] $\IR$-Algebra [/mm] hast, die Antikommutativ sind und fuer die [mm] $i^2 [/mm] = [mm] j^2 [/mm] = [mm] k^2 [/mm] = -1$ gilt?
Im ersten Fall kann es sehr wohl sein, dass sich (2) und (3) zeigen lassen; im zweiten Fall denke ich dass man zeigen kann, dass die Alegebra Dimension [mm] $\ge [/mm] 5$ ueber [mm] $\IR$ [/mm] hat, womit es nicht die Quaternionen sind.
Eine Moeglichkeit ist einfach, (2) mit zu den Axiomen zu nehmen: dann folgt $i j k = (i j) k = [mm] k^2 [/mm] = -1$. Alternativ kannst du auch (3) mit zu den Axiomen nehmen: dann folgt $i j = (i j k) [mm] k^{-1} [/mm] = [mm] -k^{-1}$; [/mm] da [mm] $k^2 [/mm] = -1$ ist, folgt [mm] $k^{-1} [/mm] = -k$, womit also $i j = k$ ist; analog folgen $j k = i$ und $k i = j$.
Also: wenn du Antikommutativitaet und (1) annimmst, kannst du entweder (2) oder (3) noch als Axiom hinzupacken, damit jeweils das andere gilt.
LG Felix
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vielen dank für die anregungen.ich wollte ursprünglich den vier-quadrate-satz von lagrange beweisen.dabei sollte alles über einem kommutativen ring R betrachtet werden.
ich bräuchte aber für die rechnungen einen antikommutativen ring:
Ein Z/2Z-graduierter Ring
R = R0 ⊕ R1
heißt antikommutativ falls
xy = [mm] (-1)^{nm}yx [/mm] (x ∈ Rn, y ∈ Rm)
das ist glaube ich noch kein widerspruch zur kommutativität
nur weiss ich jetzt nicht genau was ich bei quaternionen für ein Rn und Rm
nehmen soll
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:14 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> vielen dank für die anregungen.ich wollte ursprünglich
> den vier-quadrate-satz von lagrange beweisen.dabei sollte
> alles über einem kommutativen ring R betrachtet werden.
>
> ich bräuchte aber für die rechnungen einen
> antikommutativen ring:
> Ein Z/2Z-graduierter Ring
> R = R0 ⊕ R1
> heißt antikommutativ falls
> xy = [mm](-1)^{nm}yx[/mm] (x ∈ Rn, y ∈ Rm)
> das ist glaube ich noch kein widerspruch zur
> kommutativität
Wenn der Ring kommutativ ist, so gilt $x y = y x$ und nicht bei manchen Elementen $x y = -y x$. Das ist i.A. nur dann wahr in einem kommutativen Ring, wenn die Charakteristik 2 ist.
> nur weiss ich jetzt nicht genau was ich bei quaternionen
> für ein Rn und Rm
> nehmen soll
?!? Ehrlich gesagt, habe ich nicht viel Ahnung was du mir mit dieser Frage sagen willst.
Willst du die Hamiltonschen Quaternionen [mm] $\IH$ [/mm] schreiben als [mm] $\IH [/mm] = [mm] R_1 \oplus R_2$, [/mm] wobei [mm] $R_1 \cong \IC$, $R_2 R_2 \subseteq R_1$ [/mm] und [mm] $R_1 R_2, R_2 R_1 \subseteq R_2$?
[/mm]
Nimm doch mal [mm] $R_0 [/mm] = [mm] \IR \oplus \IR [/mm] i$ und [mm] $R_1 [/mm] = [mm] \IR [/mm] j + [mm] \IR [/mm] k = [mm] R_0 [/mm] j$.
Oder willst du die Quaternionen ueber einem Ring $R$ betrachten, also [mm] $\IR$ [/mm] durch $R$ ersetzen? Und das ganze dann als [mm] $R_0 \oplus R_1$ [/mm] schreiben? Dann mach's genauso mit $R$ anstelle [mm] $\IR$. [/mm] Oder willst du etwas ganz anderes?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:01 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Reverend,
> Die ganze Anstrengung der Konstruktion solcher Algebren
> fußte übrigens auf der Suche nach einem System von
> Ternionen, von denen man neue und universelle
> Beschreibungen des uns zugänglichen Erfahrungsraum [mm]\IR^3[/mm]
> erwartete. Ich meine, dass der Beweis ihrer Unmöglichkeit
> auch auf Hamilton zurückgeht, aber das müsste sich ja
> auch leicht nachschlagen lassen.
Ob er auf Hamilton zurueckgeht weiss ich nicht. Jedoch kann man wie folgt argumentieren: wenn ein solcher Ring $R$ existiert, so muss er [mm] $\IC$ [/mm] enthalten (weil eine Ebene im Raum enthalten ist) und ist somit auch eine [mm] $\IC$-Algebra. [/mm] Aber da [mm] $\dim_{\IC} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \dim_{\IR}$ [/mm] ist, waere [mm] $\dim_{\IC} [/mm] R = [mm] \frac{3}{2}$, [/mm] was nicht geht.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 Mo 07.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
das ist ein erstaunlich einfacher Nachweis. Ich meine, dass der ursprüngliche (von wem auch immer) deutlich umfangreicher war.
Bisher meinte ich auch, dass die "größten" hyperkomplexen Zahlen die Oktaven/Oktonionen seien. Das stellt sich als Irrtum heraus. Mir war nicht klar, dass Cayleys "Verdopplung" unbegrenzt möglich ist. Stimmt es denn wenigstens, dass Oktonionen die größte noch übliche Algebra darstellen? Wenn ja, warum finde ich dann sogar einen Wikipedia-Eintrag über Sedenionen? Ok, rhetorische Frage.
Ich habe mit all diesem nie gearbeitet, dachte aber, es wenigstens mathematikgeschichtlich einordnen zu können.
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:38 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo reverend,
> das ist ein erstaunlich einfacher Nachweis. Ich meine, dass
> der ursprüngliche (von wem auch immer) deutlich
> umfangreicher war.
das ueberrascht mich nicht. Das ist ja meist so. Und die Methode, eine Algebra als Vektorraum ueber einem Zwischenkoerper aufzufassen, war damals vermutlich eher weniger bekannt.
> Bisher meinte ich auch, dass die "größten" hyperkomplexen
> Zahlen die Oktaven/Oktonionen seien. Das stellt sich als
> Irrtum heraus. Mir war nicht klar, dass Cayleys
> "Verdopplung" unbegrenzt möglich ist. Stimmt es denn
> wenigstens, dass Oktonionen die größte noch übliche
> Algebra darstellen? Wenn ja, warum finde ich dann sogar
> einen Wikipedia-Eintrag über
> Sedenionen? Ok,
> rhetorische Frage.
Ja, das ging mir aehnlich, als ich den Eintrag vorhin entdeckt hab. Allerings habe ich da auch eine Vermutung: wenn man sagt, dass nach den Oktonionen Schluss ist, meint man vermutlich, dass es danach keine ueber [mm] $\IR$ [/mm] endlichdimensionalen distributiven algebraischen Strukturen mehr gibt, in denen es Inverse gibt.
> Ich habe mit all diesem nie gearbeitet, dachte aber, es
> wenigstens mathematikgeschichtlich einordnen zu können.
Wenn irgendwer das Buch "Zahlen" von Ebbinghaus und Co zur Hand hat, kann er vielleicht mal darin nachschauen. Ich vermute mal, dort drinnen steht etwas zum Thema.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:46 Mo 07.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
> Wenn irgendwer das Buch "Zahlen" von Ebbinghaus und Co zur
> Hand hat, kann er vielleicht mal darin nachschauen. Ich
> vermute mal, dort drinnen steht etwas zum Thema.
Da ich das nicht gelesen habe, tippe ich eher auf Philip J. Davis und Reuben Hersh, "The Mathematical Experience", oder vielleicht Keith Devlin ("Muster der Mathematik" oder "Das Mathe-Gen...") oder Simon Singh, "Fermats letzter Satz". All diese Autoren sind für Menschen mit mäßigen mathematischen Kenntnissen gut lesbar, für alle anderen aber keine gute Lektüre. Sie wären entweder überfordert oder gelangweilt.
lg
reverend
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