quadrierte Gleichverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Do 24.04.2014 | | Autor: | hula |
Halllööööchen
Ich möchte folgendes auf zwei Arten berechnen: Sei [mm] $X\sim\mathcal{U}(a,b)$, [/mm] also gleichverteilt auf dem Interval $(a,b)$. Ich bin am Erwartungswert von [mm] $Y:=X^2$ [/mm] interessiert. Die schnelle Variante ist wie folgt:
[mm] $E[Y]=E[X^2]=\int_{a}^b x^2f_X(x)dx$
[/mm]
wobei [mm] $f_X(x)=\frac{1}{b-a}\mathbf1_{(a,b)}$ [/mm] also:
[mm] $\int_{a}^b x^2f_X(x)dx=\frac{1}{b-a}\int_{a}^b x^2dx=\frac{1}{3(b-a)}(b^3-a^3)$
[/mm]
Nun auf die zweite Art und Weise: Sei [mm] $F_Y$ [/mm] die Verteilungsfunktion von $Y$ und [mm] $f_Y$ [/mm] die Dichtefunktion:
[mm] $F_Y(Z)=P(Y\le z)=P(X^2\le z)=P(X\in[-\sqrt{z}.\sqrt{z}])=F_X(\sqrt{z})-F_X(-\sqrt{z})$.
[/mm]
Nun berechne ich [mm] $f_Y(z)=\frac{dF_Y(z)}{dz}=\frac{d}{dz}(F_X(\sqrt{z})-F_X(-\sqrt{z}))=(f_X(\sqrt{z})\frac{1}{2\sqrt{z}}+f_X(-\sqrt{z})\frac{1}{2\sqrt{z}})=\frac{1}{2\sqrt{z}}(f_X(\sqrt{z})+f_X(-\sqrt{z}))$
[/mm]
Ich nehme an, dass [mm] $-\sqrt{z}\in [/mm] (a,b)$ liegt, d.h.
[mm] $\frac{1}{2\sqrt{z}}(f_X(\sqrt{z})+f_X(-\sqrt{z}))=\frac{1}{b-a}\frac{1}{\sqrt{z}}$
[/mm]
Also sollte gelte:
[mm] $E[Y]=\int_{a^2}^{b^2}zf_Y(z)dz=\int_{a^2}^{b^2}z\frac{1}{b-a}\frac{1}{\sqrt{z}}dz=\frac{1}{b-a}\int_{a^2}^{b^2}\sqrt{z}dz=\frac{1}{b-a}\frac{2}{3}(b^3-a^2)$
[/mm]
Irgendwo ging also eine [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] verloren, aber wo????
Danke und Gruss
hulaaaaaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Do 24.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Halllööööchen
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> Ich möchte folgendes auf zwei Arten berechnen: Sei
> [mm]X\sim\mathcal{U}(a,b)[/mm], also gleichverteilt auf dem Interval
> [mm](a,b)[/mm]. Ich bin am Erwartungswert von [mm]Y:=X^2[/mm] interessiert.
> Die schnelle Variante ist wie folgt:
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> [mm]E[Y]=E[X^2]=\int_{a}^b x^2f_X(x)dx[/mm]
>
> wobei [mm]f_X(x)=\frac{1}{b-a}\mathbf1_{(a,b)}[/mm] also:
>
> [mm]\int_{a}^b x^2f_X(x)dx=\frac{1}{b-a}\int_{a}^b x^2dx=\frac{1}{3(b-a)}(b^3-a^3)[/mm]
>
> Nun auf die zweite Art und Weise: Sei [mm]F_Y[/mm] die
> Verteilungsfunktion von [mm]Y[/mm] und [mm]f_Y[/mm] die Dichtefunktion:
>
> [mm]F_Y(Z)=P(Y\le z)=P(X^2\le z)=P(X\in[-\sqrt{z}.\sqrt{z}])=F_X(\sqrt{z})-F_X(-\sqrt{z})[/mm].
>
> Nun berechne ich
> [mm]f_Y(z)=\frac{dF_Y(z)}{dz}=\frac{d}{dz}(F_X(\sqrt{z})-F_X(-\sqrt{z}))=(f_X(\sqrt{z})\frac{1}{2\sqrt{z}}+f_X(-\sqrt{z})\frac{1}{2\sqrt{z}})=\frac{1}{2\sqrt{z}}(f_X(\sqrt{z})+f_X(-\sqrt{z}))[/mm]
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> Ich nehme an, dass [mm]-\sqrt{z}\in (a,b)[/mm] liegt, d.h.
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> [mm]\frac{1}{2\sqrt{z}}(f_X(\sqrt{z})+f_X(-\sqrt{z}))=\frac{1}{b-a}\frac{1}{\sqrt{z}}[/mm]
Das gilt aber nur, wenn auch $ [mm] \sqrt{z}\in [/mm] (a,b) $ !!!
FRED
>
> Also sollte gelte:
>
> [mm]E[Y]=\int_{a^2}^{b^2}zf_Y(z)dz=\int_{a^2}^{b^2}z\frac{1}{b-a}\frac{1}{\sqrt{z}}dz=\frac{1}{b-a}\int_{a^2}^{b^2}\sqrt{z}dz=\frac{1}{b-a}\frac{2}{3}(b^3-a^2)[/mm]
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> Irgendwo ging also eine [mm]\frac{1}{2}[/mm] verloren, aber wo????
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> Danke und Gruss
>
> hulaaaaaaa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 24.04.2014 | | Autor: | hula |
Hallo Fred
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> [mm]\frac{1}{2\sqrt{z}}(f_X(\sqrt{z})+f_X(-\sqrt{z}))=\frac{1}{b-a}\frac{1}{\sqrt{z}}[/mm]
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> Das gilt aber nur, wenn auch [mm]\sqrt{z}\in (a,b)[/mm] !!!
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> FRED
> >
Genau, das hätte ich noch erwähnen sollen. Trotzdem bleibt ja die Frage, wo habe ich die [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] vergessen?
hulaaaa
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Hiho,
> Genau, das hätte ich noch erwähnen sollen. Trotzdem bleibt ja die Frage, wo habe ich die [mm]\frac{1}{2}[/mm] vergessen?
in dem Schritt, wo du es dir schlichtweg zu einfach machst. Du kannst nicht einfach annehmen, dass [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] und [mm] $-\sqrt{z}$ [/mm] in (a,b) liegen, das tun sie nämlich im Allgemeinen gar nicht.
Und wenn du dir das sauber aufschreibst, löst sich dein Problem auch in Wohlgefallen auf!
Lapidar mal eben irgendwas hinschreiben funktioniert eben in der Mathematik nicht. Was du gemacht hast, ist letztlich:
"Sagen wir mal es gelte x=1, y=2 und x=y
$x=y [mm] \gdw [/mm] 1=2$ das ist ja falsch, wo ist mein Fehler?"
Gruß,
Gono.
Gruß,
Gono.
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