quadratische gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mi 06.04.2011 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Man bestimmt alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der quadratischen Gleichung
[mm] (3+i)z^2 [/mm] + (-8 +4i)z +29-37i = 0
Hinweis: man forme die gleichung durch quadratische ergänzung um und vergleiche real- und imaginärteil. |
hi zusammen,
hab mal folgende aufgabe gerechnet bin mir aber bei manchen sachen unsicher. hier mal mein rechenweg.
[mm] (3+i)z^2 [/mm] + (-8 +4i)z +29-37i = 0 | : (3+i)
[mm] z^2 [/mm] + [mm] \bruch{(-8 +4i)}{3+i}z +\bruch{29-37i}{3+i} [/mm] = 0 | erweitern der beiden Brüche mit (3-i)
[mm] z^2 [/mm] + [mm] \bruch{(-8 +4i)}{3+i} \bruch{3-i}{3-i} [/mm] z [mm] +\bruch{29-37i}{3+i} \bruch{3-i}{3-i} [/mm] |ausrechnen
[mm] z^2 [/mm] + (-2+2i)z + (5-14i) = 0 | nun quadratische ergänzung
[mm] z^2 [/mm] + (-2+2i)z [mm] +(-1+i)^2 [/mm] - [mm] (-1+i)^2 [/mm] + (5-14i) = 0 | zusammenfassen
[mm] (z-1+i)^2 [/mm] + 5 - 16i = 0
nun kommt der teil bei dem ich nicht sicher bin ob das so geht
[mm] (a+bi-1+i)^2 [/mm] = 16i - 5
((a-1) + [mm] i(b+1))^2 [/mm] = 16i - 5
nun mache ich daraus 2 gleichungen
I: [mm] (a-1)^2 [/mm] - [mm] (b+1)^2 [/mm] = -5
II: 2i(a-1)(b+1) = 16
nun forme ich gleichung 2 nach b+1 um
b+1 = [mm] \bruch{8}{a-1}
[/mm]
einsetzen in I:
[mm] (a-1)^2 [/mm] - [mm] \bruch{64}{(a-1)^2} [/mm] = -5 | [mm] *(a-1)^2
[/mm]
[mm] (a-1)^4 [/mm] - 64 + [mm] 5(a-1)^2 [/mm] = 0
substitution von [mm] (a-1)^2 [/mm] = u
[mm] u^2 [/mm] + 5u - 64 = 0
[mm] u_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{-5 \pm \wurzel{25 + 4*64}}{2}
[/mm]
und dann gehts halt so weiter mit rücksubstitution und wieder einsetzen.
die frage ist nur hätte ich oben nicht einfach folgendes machen können
[mm] (z-1+i)^2 [/mm] + 5 - 16i = 0
[mm] (z-1+i)^2 [/mm] = 16i - 5 |wurzel
(z-1+i) = [mm] \pm \wurzel{16i-5}
[/mm]
[mm] z_{1/2} [/mm] = 1-i [mm] \pm \wurzel{16i-5}
[/mm]
dann hätte ich die 2 zahlen ja auch.
wäre nett wenn jemand mal drüberschaut
lg
meep
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Hallo meep,
> Man bestimmt alle Lösungen z [mm]\in \IC[/mm] der quadratischen
> Gleichung
>
> [mm](3+i)z^2[/mm] + (-8 +4i)z +29-37i = 0
>
> Hinweis: man forme die gleichung durch quadratische
> ergänzung um und vergleiche real- und imaginärteil.
> hi zusammen,
>
> hab mal folgende aufgabe gerechnet bin mir aber bei manchen
> sachen unsicher. hier mal mein rechenweg.
>
> [mm](3+i)z^2[/mm] + (-8 +4i)z +29-37i = 0 | : (3+i)
>
> [mm]z^2[/mm] + [mm]\bruch{(-8 +4i)}{3+i}z +\bruch{29-37i}{3+i}[/mm] = 0 |
> erweitern der beiden Brüche mit (3-i)
>
> [mm]z^2[/mm] + [mm]\bruch{(-8 +4i)}{3+i} \bruch{3-i}{3-i}[/mm] z
> [mm]+\bruch{29-37i}{3+i} \bruch{3-i}{3-i}[/mm] |ausrechnen
>
> [mm]z^2[/mm] + (-2+2i)z + (5-14i) = 0 | nun quadratische ergänzung
>
> [mm]z^2[/mm] + (-2+2i)z [mm]+(-1+i)^2[/mm] - [mm](-1+i)^2[/mm] + (5-14i) = 0 |
> zusammenfassen
>
> [mm](z-1+i)^2[/mm] + 5 - 16i = 0
Hier muss doch stehen:
[mm](z-1+i)^2+ 5 - \red{12}i = 0[/mm]
>
> nun kommt der teil bei dem ich nicht sicher bin ob das so
> geht
>
> [mm](a+bi-1+i)^2[/mm] = 16i - 5
>
> ((a-1) + [mm]i(b+1))^2[/mm] = 16i - 5
>
> nun mache ich daraus 2 gleichungen
>
> I: [mm](a-1)^2[/mm] - [mm](b+1)^2[/mm] = -5
>
> II: 2i(a-1)(b+1) = 16
>
> nun forme ich gleichung 2 nach b+1 um
>
> b+1 = [mm]\bruch{8}{a-1}[/mm]
>
> einsetzen in I:
>
> [mm](a-1)^2[/mm] - [mm]\bruch{64}{(a-1)^2}[/mm] = -5 | [mm]*(a-1)^2[/mm]
>
> [mm](a-1)^4[/mm] - 64 + [mm]5(a-1)^2[/mm] = 0
>
> substitution von [mm](a-1)^2[/mm] = u
>
> [mm]u^2[/mm] + 5u - 64 = 0
>
> [mm]u_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{-5 \pm \wurzel{25 + 4*64}}{2}[/mm]
>
> und dann gehts halt so weiter mit rücksubstitution und
> wieder einsetzen.
>
> die frage ist nur hätte ich oben nicht einfach folgendes
> machen können
>
> [mm](z-1+i)^2[/mm] + 5 - 16i = 0
>
> [mm](z-1+i)^2[/mm] = 16i - 5 |wurzel
>
> (z-1+i) = [mm]\pm \wurzel{16i-5}[/mm]
>
> [mm]z_{1/2}[/mm] = 1-i [mm]\pm \wurzel{16i-5}[/mm]
>
> dann hätte ich die 2 zahlen ja auch.
Sicher kannst Du das machen.dann mußt Du allerdings
die Wurzel ais einer komplexen Zahl berechnen.
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> wäre nett wenn jemand mal drüberschaut
>
> lg
>
> meep
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 06.04.2011 | | Autor: | meep |
hi mathepower danke vielmals,
ja stimmt da hab ich mich vererchnet
ich machs mal nun mit dem richtigen ergebnis zu ende
[mm] u_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{-5 \pm \wurzel{25 + 4*36}}{2}
[/mm]
[mm] u_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{-5 \pm 13}{2}
[/mm]
[mm] u_1 [/mm] = 4 [mm] u_2 [/mm] = -9
Rücksubstitution
[mm] (a-1)^2 [/mm] = 4
[mm] a_1 [/mm] = 2 + 1 = 3
[mm] a_2 [/mm] = -2 + 1 = -1
und für [mm] u_2 [/mm] kommt nichts brauchbares raus oder wie kann ich das verstehen ? weil hier könnte man ja auch wieder sagen das wäre 3 [mm] \wurzel{i} [/mm]
nun [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] einsetzen damit ich [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] bekomme
b = [mm] \bruch{6}{a-1} [/mm] - 1
[mm] b_1 [/mm] = 1 und [mm] b_2 [/mm] = -4
also im endeffekt
[mm] z_1 [/mm] = 3 + i und [mm] z_2 [/mm] = -1 -4i
ich hoff mal ich hab mich nicht wieder verrechnet
lg
meep
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Hallo meep,
> hi mathepower danke vielmals,
>
> ja stimmt da hab ich mich vererchnet
>
> ich machs mal nun mit dem richtigen ergebnis zu ende
>
> [mm]u_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{-5 \pm \wurzel{25 + 4*36}}{2}[/mm]
>
> [mm]u_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{-5 \pm 13}{2}[/mm]
>
> [mm]u_1[/mm] = 4 [mm]u_2[/mm] = -9
>
> Rücksubstitution
>
> [mm](a-1)^2[/mm] = 4
>
> [mm]a_1[/mm] = 2 + 1 = 3
>
> [mm]a_2[/mm] = -2 + 1 = -1
>
> und für [mm]u_2[/mm] kommt nichts brauchbares raus oder wie kann
> ich das verstehen ? weil hier könnte man ja auch wieder
> sagen das wäre 3 [mm]\wurzel{i}[/mm]
>
> nun [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] einsetzen damit ich [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] bekomme
>
> b = [mm]\bruch{6}{a-1}[/mm] - 1
>
> [mm]b_1[/mm] = 1 und [mm]b_2[/mm] = -4
Hier muss doch [mm]b_{1}=2[/mm] sein
[mm]b_{2}[/mm] ist richtig.
>
> also im endeffekt
>
> [mm]z_1[/mm] = 3 + i und [mm]z_2[/mm] = -1 -4i
>
Dann ist [mm]z_{1}=3+\blue{2}*i[/mm]
> ich hoff mal ich hab mich nicht wieder verrechnet
>
> lg
>
> meep
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mi 06.04.2011 | | Autor: | meep |
alles klar, wie immer vielen dank mathepower!
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