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| Aufgabe | Flüssigkeit wird auf 90Grad erhitzt, dann lässt man sie bei Umgebungstemp. abkühlen; Messreihe:
Zeit in t Min.: 0 1 2 3 4 5 6 7
Temp. in C: 90 58 40 31 26 22 22 21
Bestimme Gleichung einer quadratischen Regressionskurve! |
ich weis, dass der Ansatz folgender ist:
[mm] p(x)=ax^2+x+c
[/mm]
Aber wie kann ich das einmal generell lösen, evt. von Hand und wie geht das mit dem Matheprogramm Mupad, unter dem einfachen Befehl solve bekommt man hier für a, b und c keine Ergebnisse heraus!
Freue mich über eine Antwort 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Wachstum Pflanze wird über Zeitraum mehreren Jahren untersucht:
t: 1 2 3 4 5
w in Meter/Jahr 0,8 0.54 0,36 0.24 0.16
Bestimme mit Hilfe der Messwerte eine Exponentialfunktion, die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von Zeit beschreibt. |
Ich weiß: [mm] w(t)=a*b^t
[/mm]
und kann durch exponentielle Regression bestimmt werden.
Wie kann man dies evt. von Hand ausrechnene, und wie löst man dies von Mathe?Auch hier hilf der Befehl solve nichts.
Danke im Voraus!
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Hallo vorhil_fe,
> Wachstum Pflanze wird über Zeitraum mehreren Jahren
> untersucht:
> t: 1 2 3 4 5
> w in Meter/Jahr 0,8 0.54 0,36 0.24 0.16
>
> Bestimme mit Hilfe der Messwerte eine Exponentialfunktion,
> die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von Zeit
> beschreibt.
> Ich weiß: [mm]w(t)=a*b^t[/mm]
> und kann durch exponentielle Regression bestimmt werden.
> Wie kann man dies evt. von Hand ausrechnene, und wie löst
> man dies von Mathe?Auch hier hilf der Befehl solve nichts.
Hier mußt Du die Funktion w(t) auf eine Gerade zurückführen.
Dies erreichst Du durch logarithmieren beider Seiten.
Bevor Du so verfahren kannst, wie in meinem ersten Post hier
beschrieben, treffe zunächst ein paar Definitionen.
>
> Danke im Voraus!
>
Gruss
MathePower
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Hallo vorhil_fe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Flüssigkeit wird auf 90Grad erhitzt, dann lässt man sie
> bei Umgebungstemp. abkühlen; Messreihe:
> Zeit in t Min.: 0 1 2 3 4 5 6 7
> Temp. in C: 90 58 40 31 26 22 22 21
>
> Bestimme Gleichung einer quadratischen Regressionskurve!
> ich weis, dass der Ansatz folgender ist:
>
> [mm]p(x)=ax^2+x+c[/mm]
>
> Aber wie kann ich das einmal generell lösen, evt. von Hand
> und wie geht das mit dem Matheprogramm Mupad, unter dem
> einfachen Befehl solve bekommt man hier für a, b und c
> keine Ergebnisse heraus!
Generell betrachtet man die Funktion
[mm]\summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-p\left(x_{i}\right) \ \right)^{2} \to \operatorname{min}[/mm]
Durch partielles Differenzieren nach den Parametern (hier: a,b,c)
erhält man die Bestimmungsgleichungen.
Hier:
[mm]\bruch{\partial}{\partial a}\summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-p\left(x_{i}\right) \ \right)^{2} =0[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial b}\summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-p\left(x_{i}\right) \ \right)^{2} =0[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial c}\summe_{i=1}^{n}\left( \ y_{i}-p\left(x_{i}\right) \ \right)^{2} =0[/mm]
Das ist ein lineares Gleichungssystem,
woraus sich die Parameter a,b,c bestimmen lassen.
>
> Freue mich über eine Antwort
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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ehrlich gesagt fällt es mir sehr schwer diese antwort zu verstehen=> das sagt mir überhaupt nicht!in meinem Abibuch steht unterlösung man kann es in gtr(graphischen taschenrechner als lösung eingeben) und bekommt dann a,b,c ...heraus!
Ich habe aber keinen Gtr sondern Mupad! Wie kann man es mit Mupad lösen lassen?
Danke führ deine Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
solve wird es nicht lösen können, weil es keine Lösung gibt, so daß [mm] $y_t=p(t)$,
[/mm]
für y=Temperaturen, [mm] $p(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] und [mm] $t=0,1,\ldots,7$
[/mm]
Anstattdessen suchen wir bei der Regression ja die Werte für a, b und c, so daß der quadratische Fehler
[mm] $\sum_{t=0}^7 (y_t [/mm] - [mm] p(t))^2$
[/mm]
minimal ist.
Dafür dürfte MuPad eine eigene Funktion haben. Als ich bei Google danach gesucht hab, war die erste Seite aber voll mit hits über bugs und Fehler in Mupad's Regressionen, also kann ich von dem Programm dafür nur abraten.
R (download ![[]](/images/popup.gif) hier) ist das klassische Programm für solche Aufgaben, Excel kann man mit etwas Einsatz auch dazu bringen.
In R sieht das ganze dann so aus:
| 1: | > y=c(90,58,40,31,26,22,22,21)
| | 2: | > y
| | 3: | [1] 90 58 40 31 26 22 22 21
| | 4: | > t=c(0:7)
| | 5: | > t
| | 6: | [1] 0 1 2 3 4 5 6 7
| | 7: | > t2=t^2
| | 8: | > t2
| | 9: | [1] 0 1 4 9 16 25 36 49
| | 10: | > lm(y~t2+t)
| | 11: |
| | 12: | Call:
| | 13: | lm(formula = y ~ t2 + t)
| | 14: |
| | 15: | Coefficients:
| | 16: | (Intercept) t2 t
| | 17: | 84.917 2.298 -24.679
| | 18: |
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Das meiste ist denk ich ziemlich selbsterklärend. Der Intercept ist die Konstante, d.h. Dein c.
lm() steht für linear model, also lineare Regression mit normalverteilten Residuen. Linear, weil p zwar eine quadratische Funktion in t ist, aber in a, b und c (d.h. unseren gesuchten Werten) ist es linear.
Ich kann dem Aufgabensteller übrigens nur dazu raten, die Meßreihe zu logarithmieren. Das Ergebnis wird viel schöner.
Für Deine zweite Aufgabe mußt Du wie erwähnt Logarithmieren:
[mm] $w(t)=a*b^t\ \Rightarrow\ \ln(w(t))=\ln(a)+\ln(b)*t$
[/mm]
das ist wieder linear. Die vom Programm ausgespuckten Koeffizienten sind dann halt die Logarithmen der gesuchten Werte.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Sa 10.04.2010 | | Autor: | vorhil_fe |
Vielen Dank für deine Mühe meine Frage zu beantworten!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
kein Problem. =)
Btw. mir ist aufgefallen, daß Excel ja trendlines einfügen kann, die für Deine Funktionen ausreichen (exponentiell, quadratisch), und bei denen man sich die Koeffizienten anzeigen lassen kann. Solange Du nur an den Koeffizienten interessiert bist und keine Diagnostik brauchst, sollte das für Deine Zwecke auch ausreichen. =)
Wenn ich Dich bei R mit mehr belästigen darf:
| 1: | > model1=lm(y~t2+t)
| | 2: | > summary(model1)
| | 3: |
| | 4: | Call:
| | 5: | lm(formula = y ~ t2 + t)
| | 6: |
| | 7: | Residuals:
| | 8: | 1 2 3 4 5 6 7 8
| | 9: | 5.0833 -4.5357 -4.7500 -0.5595 3.0357 3.0357 2.4405 -3.7500
| | 10: |
| | 11: | Coefficients:
| | 12: | Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
| | 13: | (Intercept) 84.9167 3.9068 21.736 3.83e-06 ***
| | 14: | t2 2.2976 0.3581 6.416 0.001365 **
| | 15: | t -24.6786 2.6073 -9.465 0.000222 ***
| | 16: | ---
| | 17: | Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
| | 18: |
| | 19: | Residual standard error: 4.642 on 5 degrees of freedom
| | 20: | Multiple R-squared: 0.9737, Adjusted R-squared: 0.9632
| | 21: | F-statistic: 92.58 on 2 and 5 DF, p-value: 0.0001121
| | 22: |
| | 23: | > plot(t,y)
| | 24: | > lines(t,y-model1$residuals)
|
Zeile 1 steckt das Modell in eine Variable, der Einfachheit halber.
summary() zeigt mehr Informationen.
plot(x-Punkte, y-Punkte) zeichnet die Punkte [mm] (x_i,y_i)
[/mm]
lines(x-Punkte,y-Punkte), bzw. points(...) malt Linien bzw. Punkte in einen bereits existierenden Graphen.
model1$residuals ist der Vektor mit den Residuals, wenn Du model1$ eingibst und dann <Tab> drückst, zeigt er Dir, was sonst noch an Datenvektor zur Verfügung steht.
y-model1$residuals ist also die Meßreihe minus den Regressionsfehlern, d.h. es ist der Vektor der durch p(t) geschätzten Werte.
irgendwa<Tab> bietet bei allen Befehlen mögliche Vervollständigungen an.
ciao
Stefan
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