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| Aufgabe | Gleichung:
(2y-8)(y-5)*2 = (2y-8)(2y+8) |
Als Lösung soll 4 rauskommen, was ich auch erhalte wenn ich beide Seiten ausmultipliziere.
Wenn ich aber als erstes die Gleichung durch (2y-8) dividiere bzw. dadurch die beiden Klammern (2y-8) wegkürze, erhalte ich keine Lösung, da sich die ys wegrechnen und eine unwahre Aussage übrig bleibt.
Wo ist mein Denkfehler? warum darf ich die Klammern nicht wegkürzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Fr 28.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Valkyrion!
> Gleichung:
> (2y-8)(y-5)*2 = (2y-8)(2y+8)
>
> Als Lösung soll 4 rauskommen, was ich auch erhalte wenn
> ich beide Seiten ausmultipliziere.
Gut, aber es geht auch einfacher. 
> Wenn ich aber als erstes die Gleichung durch (2y-8)
> dividiere bzw. dadurch die beiden Klammern (2y-8)
> wegkürze, erhalte ich keine Lösung, da sich die ys
> wegrechnen und eine unwahre Aussage übrig bleibt.
> Wo ist mein Denkfehler? warum darf ich die Klammern nicht
> wegkürzen?
1. Die "Division" ist nur zulässig, falls wir NICHT durch Null
teilen.
2. Wenn wir also die Gleichung auf beiden Seiten durch [mm] $(2y-8)\$
[/mm]
dividieren, dann NUR für [mm] $2y-8\not=0$, [/mm] also für [mm] $y\not=4$. [/mm] Aus diesem
Grund müssen wir [mm] $y=4\$ [/mm] "extra" behandeln.
Also noch einmal: Gesucht sind alle [mm] y\in\IR [/mm] (falls existent) mit
$(2y-8)(y-5)*2 = [mm] (2y-8)(2y+8)\$.
[/mm]
1. Auf beiden Seiten stehen Produkte. Ein Produkt ist genau dann
Null, falls mindestens einer der Faktoren Null ist. Auf beiden
Seiten sehen wir [mm] $(2y-8)\$, [/mm] so dass offensichtlich für [mm] $y=4\$ [/mm] die Gl-
eichung erfüllt ist.
2. Sei nun [mm] $y\not=4$, [/mm] dann erhalten wir
$(2y-8)(y-5)*2 = [mm] (2y-8)(2y+8)\$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow [/mm] (y-5)*2=2y+8$
[mm] $\Longleftrightarrow [/mm] (y-5)*2=2*(y+4)$.
Jetzt sieht man schon leicht, dass wir hier nicht mehr fündig
werden.
Damit erfüllt nur [mm] $y=4\$ [/mm] die Gleichung.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:47 Fr 28.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Gleichung:
> (2y-8)(y-5)*2 = (2y-8)(2y+8)
>
> Als Lösung soll 4 rauskommen, was ich auch erhalte wenn
> ich beide Seiten ausmultipliziere.
>
> Wenn ich aber als erstes die Gleichung durch (2y-8)
> dividiere bzw. dadurch die beiden Klammern (2y-8)
> wegkürze, erhalte ich keine Lösung, da sich die ys
> wegrechnen und eine unwahre Aussage übrig bleibt.
> Wo ist mein Denkfehler? warum darf ich die Klammern nicht
> wegkürzen?
Weil du dabei Lösungen verlieren kannst ("Kürzen" nennt man das übrigens nicht).
Du darfst eine Gleichung beidseits durch einen Ausdruck dividieren, aber nur, wenn sichergestellt ist, dass dieser nicht Null ist.
Wenn der Ausdruck, durch den du dividieren möchtest aber eine Variable enthält, kannst du idR nicht garantieren, dass er nie Null werden kann.
In deinem Fall wird der Ausdruck, durch den du dividierst, für y=4 zu Null und damit hast du durch die Division die einzige Lösung der Gleichung verloren.
Dem Problem kannst du nun auf zwei verschiedene Arten begegnen:
1) durch eine Fallunterscheidung, wie es dir dieAcht gezeigt hat
oder
2) du bringst alle Terme auf eine Seite
[mm] $(2y-8)\cdot(y-5)\cdot [/mm] 2- [mm] (2y-8)\cdot(2y+8)=0$
[/mm]
und klammerst nun den Ausdruck, durch den du dividieren wolltest, aus
[mm] $(2y-8)\cdot[(y-5)\cdot2-(2y+8)]=0$
[/mm]
Nun noch ein wenig aufräumen
[mm] $(2y-8)\cdot(2y-10-2y-8)=0$
[/mm]
[mm] $(2y-8)\cdot(-18)=0$
[/mm]
Durch (-18) darfst du nun beidseits dividieren, denn das ist ja ungleich Null
$2y-8=0$
und jetzt ist bis
$y=4$
nur mehr ein kleiner Schritt.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Fr 28.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo RMix!
> 2) du bringst alle Terme auf eine Seite
> [mm](2y-8)\cdot(y-5)\cdot 2- (2y-8)\cdot(2y+8)=0[/mm]
> und klammerst nun den Ausdruck, durch den du dividieren wolltest, aus
> [mm](2y-8)\cdot[(y-5)\cdot2-(2y+8)]=0[/mm]
Spätestens hier würde ich wieder mit "Ein Produkt ist genau dann
Null, falls mindestens einer der Faktoren Null ist." argumentie-
ren. Dann folgt daraus sofort [mm] $y=4\$ [/mm] und dann geht es weiter mit
[mm] $(y-5)\cdot2-(2y+8)=2y-10-2y-8=-18\not=0$.
[/mm]
Das ist dann aber wohl Geschmackssache.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Fr 28.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
>
> Spätestens hier würde ich wieder mit "Ein Produkt ist genau dann
> Null, falls mindestens einer der Faktoren Null ist." argumentieren.
Ja klar, natürlich. Nur kann man sich das hier zufälligerweise sparen, da der zweite Faktor eine Konstante ist.
> Das ist dann aber wohl Geschmackssache.
Genau. Wie immer man das auch angeht, es führt auf sehr ähnliche Überlegungen.
Wollte auch nur auf die Alternative ohne (explizite) Fallunterscheidung aufmerksam machen, da ich die Erfahrung gemacht habe, dass Schülern derartige Fallunterscheidungen oft recht suspekt sind, wohingegen sie meist für ein Kochrezept wie "alles auf eine Seite, ausklammern, Produkt-Nullsatz" offener sind.
Ist sicher Geschmackssache und im Produkt-Null-Satz steckt die Fallunterscheidung ja letztlich auch drin.
Gruß RMix
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