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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 30.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man bestimme um welche quadratische Formen es sich handelt:
a) [mm] $x^2+2y^2-z^2-4xy-6xz+2yz$ [/mm]
b) [mm] $x^2+3y^2+z^2-4xy+2xz-6yz$ [/mm] |
Ich habe bei allen denen auf indefinit gestimmt, da alle Hauptminoren alternierende Vorzeichen aufweisen.
Meine Frage: Ist das hinreichend (im Allgemeinen) für die Indefinitheit.
Kann man die Art der quadratischen Form immer an den Hauptminoren ablesen oder braucht man dazu unbedingd die Eigenwerte?
Nur, hier wäre ein Computeralgebrasystem notwendig um die Eigenwerte zu bestimmen, oder man tut sich langwierig mit dem Newtonschen Verfahren o.ä. Weiß jemand, wie man dies schnell sonst feststellen könnte, wenn meine vorgeschlagene Methode nicht funktioniert?
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Hallo clemenum,
> Man bestimme um welche quadratische Formen es sich handelt:
> a) [mm]x^2+2y^2-z^2-4xy-6xz+2yz[/mm]
> b) [mm]x^2+3y^2+z^2-4xy+2xz-6yz[/mm]
> Ich habe bei allen denen auf indefinit gestimmt, da alle
> Hauptminoren alternierende Vorzeichen aufweisen.
> Meine Frage: Ist das hinreichend (im Allgemeinen) für die
> Indefinitheit.
> Kann man die Art der quadratischen Form immer an den
> Hauptminoren ablesen oder braucht man dazu unbedingd die
> Eigenwerte?
>
Die Definitheit einer quadratischen Form kannst Du über
die Hauptminoren der zugehörigen Matrix bestimmen.
Dazu bedarf es nicht Berechnung der Eigenwerte der zugehörigen Matrix.
> Nur, hier wäre ein Computeralgebrasystem notwendig um die
> Eigenwerte zu bestimmen, oder man tut sich langwierig mit
> dem Newtonschen Verfahren o.ä. Weiß jemand, wie man dies
> schnell sonst feststellen könnte, wenn meine
> vorgeschlagene Methode nicht funktioniert?
Um den Typ der quadratischen Form zu bestimmen,
hilft die quadratische Ergänzung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 30.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Hallo Mathe Power!
Ich danke dir für deine Info!
Nun, stimmt dies, dass, wenn die Hauptminoren sich in ihren Vorzeichen abwechseln, dass es sich dann um eine indefinite Form handelt?
Kann man die Bedingungen, die für die Eigenwerte gelten auf die Hauptminoren in dem Sinn übertragen, dass man sich einfach auf die Vorzeichen konzentriert und dies als Kriterium für den Typ betrachtet?
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Hallo clemenum,
> Hallo Mathe Power!
>
> Ich danke dir für deine Info!
>
> Nun, stimmt dies, dass, wenn die Hauptminoren sich in ihren
> Vorzeichen abwechseln, dass es sich dann um eine indefinite
> Form handelt?
Nein, die Form ist dann negativ definit.
>
> Kann man die Bedingungen, die für die Eigenwerte gelten
> auf die Hauptminoren in dem Sinn übertragen, dass man sich
> einfach auf die Vorzeichen konzentriert und dies als
> Kriterium für den Typ betrachtet?
Anhand der Vorzeichen der Eigenwerte ist es möglich auf
den Typ der quadratischen Form zu schliessen, was auf
die Hauptminoren nicht zutrifft.
Hier hilft, wie schon erwähnt, die quadratische Ergänzung weiter,
wenn der Typ der quadratischen Form bestimmt werden soll.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 30.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Verzeihe mir die "dumme" Frage, doch, meinst du die quadratische Ergänzung beim charakteristischen Polynom oder bei der quadratischen Form? Das charakteristische Polynom kann doch auch dritten oder vierten Grades sein.
Außerdem verstehe ich nicht, was einen die quadratische Ergänzung über den Zyp sagen soll bzw. ich verstehe nicht, WIE sie das kann. Kannst du mir das an meinem Beispiel erklären? Am Rechner habe ich schon die entsprechenden Eigenwerte ermittelt und alternierende Vorzeichen ermittelt, also indefinit. Nur, wie stelle ich das direkt bei der Angabe an?
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Hallo clemenum,
> Verzeihe mir die "dumme" Frage, doch, meinst du die
> quadratische Ergänzung beim charakteristischen Polynom
> oder bei der quadratischen Form? Das charakteristische
> Polynom kann doch auch dritten oder vierten Grades sein.
Ich meine die quadratische Ergänzung bei einer quadratischen Form.
>
> Außerdem verstehe ich nicht, was einen die quadratische
> Ergänzung über den Zyp sagen soll bzw. ich verstehe
> nicht, WIE sie das kann. Kannst du mir das an meinem
> Beispiel erklären? Am Rechner habe ich schon die
> entsprechenden Eigenwerte ermittelt und alternierende
> Vorzeichen ermittelt, also indefinit. Nur, wie stelle ich
> das direkt bei der Angabe an?
Beispiel:
Der Typ der Gleichung
[mm]x^{2}+4*x*y+8*y^2=1[/mm]
soll bestimmt werden.
[mm]x^{2}+4*x*y+8*y^2=1[/mm]
Zunächst sorgen wir dafür, dass das gemischt quadratische Glied
durch eine geignete Transformation eliminiert wird. Dies erreicht
man durch quadratische Ergänzung:
[mm]\gdw x^{2}+2*x*\left(2*y\right)+\left(2*y\right)^{2}-\left(2*y\right)^{2}+8*y^{2}=1[/mm]
[mm]\gdw \left(x+2*y\right)^{2}-4*y^{2}+8*y^{2}=1[/mm]
[mm]\gdw \left(x+2*y\right)^{2}+4*y^{2}=1[/mm]
Division durch 4 liefert:
[mm]\bruch{\left(x+2y\right)^{2}}{4}+y^{2}=\bruch{1}{4}[/mm]
Mit der Transformation [mm]x'=x+2, \ y'=y[/mm] ergibt sich:
[mm]\bruch{x'^{2}}{4}+y'^{2}=1[/mm]
Diese Gleichung stellt somit eine Ellipse dar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 30.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Vielen Dank für deine Mühe!!
Es tut mir sehr Leid, dass ich mich so undeutlich ausgedrückt habe. Ich meinte eigentlich, wie man neben der Betrachtung der Eigenwerte auch noch erkennen kann, ob eine gegebene quadratische Form definit, semidefinit, etc. ist. Ich meinte, ob es dort ausreichend ist, die Hauptminoren zu betrachten (also ihre Vorzeichen). Mit "Typ" meinte ich diese Eigenschaft, sry, dass damit auch dies zu verstehen war. Umsonst war es aber nicht! ;)
Es sol angeblich möglich sein, aus dem Wert der Determinate etwas über die Definitheit zu sagen, nur wie? Ich kann nur sofort schließen, dass sie nicht positiv definit ist, wenn schon eine Minore negativ ist (also z.B. die maximale Minore). Wie kann ich mir also das mühsame (Er-)Rechnen der Eigenwerte ersparen (wenn da z.B. irreduzible Polynome höheren Grades entstehen sollten)?
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Hallo clemenum,
> Vielen Dank für deine Mühe!!
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> Es tut mir sehr Leid, dass ich mich so undeutlich
> ausgedrückt habe. Ich meinte eigentlich, wie man neben der
> Betrachtung der Eigenwerte auch noch erkennen kann, ob eine
> gegebene quadratische Form definit, semidefinit, etc. ist.
> Ich meinte, ob es dort ausreichend ist, die Hauptminoren zu
> betrachten (also ihre Vorzeichen). Mit "Typ" meinte ich
> diese Eigenschaft, sry, dass damit auch dies zu verstehen
> war. Umsonst war es aber nicht! ;)
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Definitheit
>
> Es sol angeblich möglich sein, aus dem Wert der
> Determinate etwas über die Definitheit zu sagen, nur wie?
> Ich kann nur sofort schließen, dass sie nicht positiv
> definit ist, wenn schon eine Minore negativ ist (also z.B.
> die maximale Minore). Wie kann ich mir also das mühsame
> (Er-)Rechnen der Eigenwerte ersparen (wenn da z.B.
> irreduzible Polynome höheren Grades entstehen sollten)?
Gruss
MathePower
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