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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Rang, Trägheitsindex und Signatur der durch die quadratische Form Q : [mm] \IR^4\to\IR,
[/mm]
Q(x) = [mm] 2x_1x_2 [/mm] + [mm] 2x_2^2 [/mm] + [mm] x^2_3 [/mm] + [mm] 4x_3x_4 [/mm] + [mm] 4x^2_4
[/mm]
eindeutig festgelegten symmetrischen Bilinearform. |
Ich habe zuerst die Matrix aufgestellt welche durch Q(x) definiert wird:
[mm] A=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4}
[/mm]
dann sieht man sofort dass die 3. Zeile ein vielfaches der 4. ist => rg(A)=3
Dann die Eigenwerte von A:
[mm] |\lambda I-A|=\vmat{\lambda & -1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & \lambda -4}=\lambda*\vmat{\lambda -2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda -1 & -2 \\ 0 & -2 & \lambda -4}+\vmat{-1 & 0 & 0 \\0 & \lambda -1 & -2 \\ 0 & -2 & \lambda -4}=\lambda^4-7\lambda^3+9\lambda^2+5\lambda
[/mm]
Daraus erhalte ich dann via Taschenrechner die Eigenwerte:
[mm] \lambda_1=-0,41421356237309515, \lambda_2=0, \lambda_3=2,414213562373095, \lamda_4=5
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Trägheitsindex=2(positive Eigenwerte)-1(negative Eigenwerte)=1
und Signatur= (2, 1, 1)
Is das so richtig?
Und wie kann ich das Lösen ohne die Eigenwerte explizit zu berechnen, da ich in der Klausur keinen Rechner habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Sa 30.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie Rang, Trägheitsindex und Signatur der durch
> die quadratische Form Q : [mm]\IR^4\to\IR,[/mm]
> Q(x) = [mm]2x_1x_2[/mm] + [mm]2x_2^2[/mm] + [mm]x^2_3[/mm] + [mm]4x_3x_4[/mm] + [mm]4x^2_4[/mm]
> eindeutig festgelegten symmetrischen Bilinearform.
> Ich habe zuerst die Matrix aufgestellt welche durch Q(x)
> definiert wird:
> [mm]A=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4}[/mm]
>
> dann sieht man sofort dass die 3. Zeile ein vielfaches der
> 4. ist => rg(A)=3
Das sagt erstmal nur, dass der Rang hoechstens 3 sein kann. Das er wirklich 3 ist musst du noch zeigen. (Bzw. das folgt aus dem weiter unten, da der Rang die Anzahl der Eigenwerte [mm] $\neq [/mm] 0$ ist.)
> Dann die Eigenwerte von A:
> [mm]|\lambda I-A|=\vmat{\lambda & -1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & \lambda -4}=\lambda*\vmat{\lambda -2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda -1 & -2 \\ 0 & -2 & \lambda -4}+\vmat{-1 & 0 & 0 \\0 & \lambda -1 & -2 \\ 0 & -2 & \lambda -4}=\lambda^4-7\lambda^3+9\lambda^2+5\lambda[/mm]
>
> Daraus erhalte ich dann via Taschenrechner die Eigenwerte:
> [mm]\lambda_1=-0,41421356237309515, \lambda_2=0, \lambda_3=2,414213562373095, \lambda_4=5[/mm]
Also [mm] $\lambda_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_4$ [/mm] sind schon Eigenwerte von $A$, jedoch nicht [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$. [/mm] Jedoch liegen [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$ [/mm] recht nah bei Eigenwerten von $A$. Sprich: du musst schon [mm] $\lambda_1 \approx [/mm] -0,41421356237309515$ etc. schreiben!
> [mm]\Rightarrow[/mm] Trägheitsindex=2(positive
> Eigenwerte)-1(negative Eigenwerte)=1
> und Signatur= (2, 1, 1)
>
> Is das so richtig?
Wenn ihr Traegheitsindex und Signatur so definiert habt: ja.
> Und wie kann ich das Lösen ohne die Eigenwerte explizit zu
> berechnen, da ich in der Klausur keinen Rechner habe?
Also: du hast gesehen, dass der Rang kleinergleich 3 ist. Es gibt also mindestens einmal den Eigenwert 0, du kannst also [mm] $\lambda^4-7\lambda^3+9\lambda^2+5\lambda$ [/mm] durch [mm] $\lambda$ [/mm] teilen. Bleibt [mm] $\lambda^3 [/mm] - 7 [mm] \lambda^2 [/mm] + 9 [mm] \lambda [/mm] + 5$ uebrig.
Das kannst du jetzt auf rationale Nullstellen untersuchen. Da das Polynom ganzzahlige Koeffizienten hat und normiert ist, muessen diese bereits ganzzahlig sein, und insbesondere den konstanten Term, also 5, teilen. Damit gibt es nur die Moeglichkeiten $1, -1, 5, -5$. Du kommst also mit Ausprobieren schnell dazu, dass $5$ ein Eigenwert ist.
Dann kannst du [mm] $\lambda^3 [/mm] - 7 [mm] \lambda^2 [/mm] + 9 [mm] \lambda [/mm] +5$ durch [mm] $\lambda [/mm] - 5$ teilen; es bleibt ein quadratisches Polynom uebrig. Davon kannst du dann wie gewoehnlich mit der $pq$-Formel (oder mit quadratischer Ergaenzung) die Nullstellen berechnen.
LG Felix
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