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| Aufgabe | Seien a,b,c gannze Zahlen mit
[mm] a^2+b^2=c^2.
[/mm]
Zeigen Sie, dass 30 ein Teiler von abc ist. |
Hallo zusammen,
ich habe Zahlenbeispiele betrachtet bei den die Aussage zutrifft, nun weiß ich leier nicht wie ich es allgemein zeigen kann. Kann mir jemand einen Tipp geben.
Also a=3, b=4, c=5 dann gilt [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] und es ist [mm] a*b*c=3*4*5*=60\Rightarrow [/mm] 30|60
Weiter a=5, b=12, c=13, dann gilt auch da [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] und es ist a*b*c=169 [mm] \Rightarrow [/mm] 30|16
Die Primfaktorzerlegung von 30 ist 5*3*2
Weiter [mm] abc\equiv [/mm] 0 mod 5*3*2
[mm] \gdw (abc)^2\equiv [/mm] 0mod 5*3*2
[mm] \gdw (ac)^2(c^2-a^2) \equiv [/mm] mod 5*3*2
[mm] \gdw (ac)^2c^2\equiv (ac)^2a^2 [/mm] mod 5*3*2
Ist mein Ansatz richtig? Falls ja wie könnte ich weitermachen? Ich wäre für jeden Tipp dankbar!
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Hiho,
zeige:
1.) (Mindestens) Eine der drei Zahlen ist durch 2 teilbar.
2.) (Mindestens) Eine der drei Zahlen ist durch 3 teilbar.
3.) (Mindestens) Eine der drei Zahlen ist durch 5 teilbar.
Aus allen drei Punkten folgt dann das gewünschte.
Alle drei Dinge zeigst du faktisch auf dem selben Weg: betrachte die Gleichung mod 2,3,4 und überlege dir welche Werte für [mm] $c^2$ [/mm] eintreten können. Falls [mm] $c^2$ [/mm] mod 2,3,4 = 0 ist die Sache klar, falls nicht musst du daraus überlegen, wieso dann a=0 oder b=0 mod 2,3,4 folgt
Gruß,
Gono
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