punktweise konv./ ok so ? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 04.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] mit
[mm] f_n:\IR \to \IR, x \to f_n(x):=nx \cdot exp(-nx), n \in \IN [/mm]
1) Bestimmen Sie die Menge E aller Punkte in [mm] \IR, [/mm] auf der [mm] (f_n) [/mm] punktweise konvergent ist.
2) Zeigen Sie, dass [mm] (f_n) [/mm] glm. auf [mm] [a,\infty[ [/mm] mit a > 0 konvergiert. Konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auch glm. auf [mm] ]0,\infty[ [/mm] ? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe mir Folgendes gedacht:
1) [mm] |f_n(x)=nx \cdot \bruch{1}{exp(nx)} = \bruch{nx}{exp(nx)} [/mm]
Das würde bedeuten, für x=0 erhalte ich eine Nullfolge, es konvergiert die Funktionenfolge also gegen 0.
Für x < 0 läuft die Funktionenfolge gegen minus Unendlich und für alle x > 0 konvergiert die Folge gegen 0.
Das würde bedeuten, dass die Menge [mm] E=/\IR \setminus \IR^- [/mm] wäre, bzw. E das Intervall [mm] [0,\infty[ [/mm] ist.
Die Grenzfunktion ist dann die 0-Folge.
Stimmt das ?
2) Für glm.Konvergenz gilt [mm] ||f_n-f|| \to 0 [/mm] für n gegen Unendlich.
Das [mm] f_n [/mm] schon eine Nullfolge ist, und von dieser 0 abgezogen wird, konvergiert [mm] f_n [/mm] also gleichmässig.
Da ich ja schon dachte, dass für x=0 die Folge auch gegen 0 geht, dürfte jetzt eigentlich diese Zusatzfrage nicht kommen - also, irgendetwas stimmt nicht.
Aber was ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] mit
> [mm]f_n:\IR \to \IR, x \to f_n(x):=nx \cdot exp(-nx), n \in \IN[/mm]
>
> 1) Bestimmen Sie die Menge E aller Punkte in [mm]\IR,[/mm] auf der
> [mm](f_n)[/mm] punktweise konvergent ist.
> 2) Zeigen Sie, dass [mm](f_n)[/mm] glm. auf [mm][a,\infty[[/mm] mit a > 0
> konvergiert. Konvergiert [mm](f_n)[/mm] auch glm. auf [mm]]0,\infty[[/mm] ?
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe mir Folgendes gedacht:
> 1) [mm]|f_n(x)=nx \cdot \bruch{1}{exp(nx)} = \bruch{nx}{exp(nx)}[/mm]
>
> Das würde bedeuten, für x=0 erhalte ich eine Nullfolge, es
> konvergiert die Funktionenfolge also gegen 0.
> Für x < 0 läuft die Funktionenfolge gegen minus Unendlich
> und für alle x > 0 konvergiert die Folge gegen 0.
> Das würde bedeuten, dass die Menge [mm]E=/\IR \setminus \IR^-[/mm]
> wäre, bzw. E das Intervall [mm][0,\infty[[/mm] ist.
> Die Grenzfunktion ist dann die 0-Folge.
> Stimmt das ?
Die Grenzfunktion ist die Nullfunktion !
>
> 2) Für glm.Konvergenz gilt [mm]||f_n-f|| \to 0[/mm] für n gegen
> Unendlich.
> Das [mm]f_n[/mm] schon eine Nullfolge ist, und von dieser 0
> abgezogen wird, konvergiert [mm]f_n[/mm] also gleichmässig.
Das ist falsch ! Zumindest füt das Intervall (0, [mm] \infty)
[/mm]
Wäre [mm] (f_n) [/mm] auf diesem Intervall glm. konvergent, so müsste die Folge [mm] (f_n(1/n)) [/mm] eine Nullfolge sein. Aber : [mm] f_n(1/n) [/mm] = 1/e für jedes n
> Da ich ja schon dachte, dass für x=0 die Folge auch gegen
> 0 geht, dürfte jetzt eigentlich diese Zusatzfrage nicht
> kommen - also, irgendetwas stimmt nicht.
> Aber was ?
Siehe oben.
FRED
>
> Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 04.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
> > Gegeben sei die Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] mit
> > [mm]f_n:\IR \to \IR, x \to f_n(x):=nx \cdot exp(-nx), n \in \IN[/mm]
>
> >
> > 1) Bestimmen Sie die Menge E aller Punkte in [mm]\IR,[/mm] auf der
> > [mm](f_n)[/mm] punktweise konvergent ist.
> > 2) Zeigen Sie, dass [mm](f_n)[/mm] glm. auf [mm][a,\infty[[/mm] mit a > 0
> > konvergiert. Konvergiert [mm](f_n)[/mm] auch glm. auf [mm]]0,\infty[[/mm] ?
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> >
> > Hallo,
> > ich habe mir Folgendes gedacht:
> > 1) [mm]|f_n(x)=nx \cdot \bruch{1}{exp(nx)} = \bruch{nx}{exp(nx)}[/mm]
>
> >
> > Das würde bedeuten, für x=0 erhalte ich eine Nullfolge, es
> > konvergiert die Funktionenfolge also gegen 0.
> > Für x < 0 läuft die Funktionenfolge gegen minus
> Unendlich
> > und für alle x > 0 konvergiert die Folge gegen 0.
> > Das würde bedeuten, dass die Menge [mm]E=/\IR \setminus \IR^-[/mm]
> > wäre, bzw. E das Intervall [mm][0,\infty[[/mm] ist.
> > Die Grenzfunktion ist dann die 0-Folge.
> > Stimmt das ?
>
>
> Die Grenzfunktion ist die Nullfunktion !
>
> Das ist falsch ! Zumindest füt das Intervall (0, [mm]\infty)[/mm]
>
> Wäre [mm](f_n)[/mm] auf diesem Intervall glm. konvergent, so müsste
> die Folge [mm](f_n(1/n))[/mm] eine Nullfolge sein. Aber : [mm]f_n(1/n)[/mm] =
> 1/e für jedes n
>
Wenn ich [mm] 0 < x<1 [/mm] setze, kommt als Grenzfunktion [mm] \bruch{1}{e} [/mm] heraus. Für [mm] x \ge 1 [/mm] ist die Grenzfunktion die Nullfunktion.
Ist das richtig ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
>
> > > Gegeben sei die Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] mit
> > > [mm]f_n:\IR \to \IR, x \to f_n(x):=nx \cdot exp(-nx), n \in \IN[/mm]
>
> >
> > >
> > > 1) Bestimmen Sie die Menge E aller Punkte in [mm]\IR,[/mm] auf der
> > > [mm](f_n)[/mm] punktweise konvergent ist.
> > > 2) Zeigen Sie, dass [mm](f_n)[/mm] glm. auf [mm][a,\infty[[/mm] mit a
> > 0
> > > konvergiert. Konvergiert [mm](f_n)[/mm] auch glm. auf [mm]]0,\infty[[/mm] ?
> > > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> > >
> > > Hallo,
> > > ich habe mir Folgendes gedacht:
> > > 1) [mm]|f_n(x)=nx \cdot \bruch{1}{exp(nx)} = \bruch{nx}{exp(nx)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das würde bedeuten, für x=0 erhalte ich eine Nullfolge, es
> > > konvergiert die Funktionenfolge also gegen 0.
> > > Für x < 0 läuft die Funktionenfolge gegen minus
> > Unendlich
> > > und für alle x > 0 konvergiert die Folge gegen 0.
> > > Das würde bedeuten, dass die Menge [mm]E=/\IR \setminus \IR^-[/mm]
> > > wäre, bzw. E das Intervall [mm][0,\infty[[/mm] ist.
> > > Die Grenzfunktion ist dann die 0-Folge.
> > > Stimmt das ?
> >
> >
> > Die Grenzfunktion ist die Nullfunktion !
> >
> > Das ist falsch ! Zumindest füt das Intervall (0, [mm]\infty)[/mm]
> >
> > Wäre [mm](f_n)[/mm] auf diesem Intervall glm. konvergent, so müsste
> > die Folge [mm](f_n(1/n))[/mm] eine Nullfolge sein. Aber : [mm]f_n(1/n)[/mm] =
> > 1/e für jedes n
> >
>
> Wenn ich [mm]0 < x<1[/mm] setze, kommt als Grenzfunktion
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] heraus. Für [mm]x \ge 1[/mm] ist die Grenzfunktion die
> Nullfunktion.
> Ist das richtig ?
Das ist Unsinn. Wie kommst Du darauf ?
FRED
>
> Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Do 04.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
> > Wenn ich [mm]0 < x<1[/mm] setze, kommt als Grenzfunktion
> > [mm]\bruch{1}{e}[/mm] heraus. Für [mm]x \ge 1[/mm] ist die Grenzfunktion die
> > Nullfunktion.
> > Ist das richtig ?
>
> Das ist Unsinn. Wie kommst Du darauf ?
>
OK,
hier mein Ansatz:
Sei x=1: [mm] f_n(1)=\bruch{n}{exp(n)[/mm] geht gegen 0
Sei x=[mm] \bruch{1}{n}[/mm]: [mm] f_n(1/n)=\bruch{1}{e} [/mm] für [mm] n \to \infty [/mm]
Jetzt ist 1/n doch immer eine Zahl zwischen 0 und 1, da [mm] n \in \IN [/mm], deshalb dachte ich, für alle 0<x<1 geht die Funktionenfolge gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm]
Wo ist denn hier mein Denkfehler ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Fr 05.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> > > Wenn ich [mm]0 < x<1[/mm] setze, kommt als Grenzfunktion
> > > [mm]\bruch{1}{e}[/mm] heraus. Für [mm]x \ge 1[/mm] ist die Grenzfunktion die
> > > Nullfunktion.
> > > Ist das richtig ?
> >
> > Das ist Unsinn. Wie kommst Du darauf ?
> >
> OK,
> hier mein Ansatz:
> Sei x=1: [mm]f_n(1)=\bruch{n}{exp(n)[/mm] geht gegen 0
> Sei x=[mm] \bruch{1}{n}[/mm]: [mm]f_n(1/n)=\bruch{1}{e}[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
>
> Jetzt ist 1/n doch immer eine Zahl zwischen 0 und 1, da [mm]n \in \IN [/mm],
> deshalb dachte ich, für alle 0<x<1 geht die Funktionenfolge
> gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>
> Wo ist denn hier mein Denkfehler ?
Hier:
"deshalb dachte ich, für alle 0<x<1 geht die Funktionenfolge
gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm] "
FRED
>
> Danke, Susanne.
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Guten Morgen Fred !
Vielleicht habe ich jetzt verstanden, was ich falsch gemacht habe:
Sei 0 < x < 1 (z.B. 1/10)
[mm]f_n(\bruch{1}{10})=\bruch{\bruch{n}{10}}{exp\bruch{n}{10}}=\bruch{n}{10 \cdot \wurzel[10]{e^n}} [/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
und dann geht gegen 0, da der Nenner immer grösser wird.
Das würde dann bedeuten, die Grenzfunktion ist für [mm] x \ge 0 [/mm] (ausser x=1) die 0-Funktion.
Puh...ist das jetzt richtig ?
VIELEN DANK, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 07.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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