prüfung auf in-, sur-, bijekti < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 25.10.2009 | | Autor: | den9ts |
| Aufgabe | Prüfe nach, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind!
A) g: [mm] \IN \to \IN, g(x)=x^2 [/mm] |
laut definition von injektivität gilt:
[mm] g(x_1)=g(x_2) \rightarrow x_1=x_2
[/mm]
da das fuer die funktion nicht gilt, weiß ich, weil g(x)=4 durch [mm] x_1=-2 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] herauskommen kann, aber wie lös ich die aufgabe rein formal richtig?
kann da ja nicht einfach das beispiel dazuschreiben, oder doch bei 'prüfe nach' ?
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Hallo den9ts,
> Prüfe nach, ob die folgenden Abbildungen injektiv,
> surjektiv oder bijektiv sind!
> A) g: [mm]\IN \to \IN, g(x)=x^2[/mm]
> laut definition von
> injektivität gilt:
> [mm]g(x_1)=g(x_2) \rightarrow x_1=x_2[/mm]
>
> da das fuer die funktion nicht gilt, weiß ich, weil g(x)=4
> durch [mm]x_1=-2[/mm] und [mm]x_2=2[/mm] herauskommen kann, aber wie lös ich
> die aufgabe rein formal richtig?
Nein, das stimmt nicht. Die Funktion $\ [mm] g:\begin{cases} \IN \to \IN \\ x \to x^2 \end{cases} [/mm] $ hat kein Urbild $\ x = -2 $
Die Funktion ist injektiv.
Für $\ [mm] g:\begin{cases} \red{\IZ} \to \IN \\ x \to x^2 \end{cases} [/mm] $ hättest Du Recht 
Du kannst also sagen: $\ [mm] x_1 \not= x_1 \Rightarrow g(x_1) \not= g(x_2) [/mm] $ für alle $\ x [mm] \in \IN [/mm] $ und somit ist $\ g $ injektiv.
>
> kann da ja nicht einfach das beispiel dazuschreiben, oder
> doch bei 'prüfe nach' ?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 25.10.2009 | | Autor: | den9ts |
stimmt.. danke
aber wie lös ich die aufgabe formal richtig wenn da steht : 'prüfe nach' ?
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Hi,
für Injektivität hättest Du das doch mit meiner ersten Antwort nachgeprüft.
Für alle $\ x [mm] \in \IN [/mm] $ mit $\ g: [mm] \IN \to \IN [/mm] : x [mm] \to x^2$ [/mm] gilt $\ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \Rightarrow g(x_1) [/mm] = [mm] g(x_1)$
[/mm]
$\ [mm] \IN [/mm] $ ist nunmal $\ [mm] \IN [/mm] = [mm] \{1,2,3,...\}$ [/mm] und die Bildmenge, also $\ [mm] g(\IN) [/mm] = [mm] \{1,4,9,16,...\} [/mm] $.
Das sollte reichen.
Ansonsten könntest du damit Argumentieren, dass es für $\ x ^2 $ immer zwei Lösungen/Urbilder gibt, nämlich:
(i) $\ [mm] +\wurzel{x^2} [/mm] = x $
(ii) $\ - [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = -x $
$\ - x [mm] \not\in \IN [/mm] $ für alle $\ x [mm] \in \IN [/mm] $ somit ist $\ g $ ist injektiv.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 26.10.2009 | | Autor: | den9ts |
musste außer der ersten aufgabe noch folgende machen und es wär schön, wenn mir jemand sagen kann ob das richtig ist..
2) g: [mm] \IR\to \{x\in \IR | x \ge 0 \}, g(x)=x^2 [/mm] surjektiv
3) g: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] , g(x,y)=x+y bijektiv
4) g: [mm] \IR \to \IR^2 [/mm] , [mm] g(x)=(x,x^2) [/mm] injektiv
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Hallo,
> musste außer der ersten aufgabe noch folgende machen und
> es wär schön, wenn mir jemand sagen kann ob das richtig
> ist..
>
Ein paar erklärende Worte von dir, würden das Kontrollieren erleichtern...
> 2) g: [mm]\IR\to \{x\in \IR | x \ge 0 \}, g(x)=x^2[/mm] surjektiv
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3) g: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] , g(x,y)=x+y bijektiv
Wie würdest du hier die Injektivität beweisen?
> 4) g: [mm]\IR \to \IR^2[/mm] , [mm]g(x)=(x,x^2)[/mm] injektiv
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 26.10.2009 | | Autor: | den9ts |
3) g: $ [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] $ , g(x,y)=x+y bijektiv
ich glaub da kann man doch keine injektivität beweisen, weil ich ja [mm] g(x_1,y_1)=g(x_2,y_2) \rightarrow x_1,y_1\not=x_2,y_2 [/mm] habe...
z.b. -5,5 [mm] \not= [/mm] 5,-5
daher is das teil surjektiv?
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> 3) g: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] , g(x,y)=x+y bijektiv
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> ich glaub da kann man doch keine injektivität beweisen,
> weil ich ja [mm]g(x_1,y_1)=g(x_2,y_2) \rightarrow x_1,y_1\not=x_2,y_2[/mm]
> habe...
> z.b. -5,5 [mm]\not=[/mm] 5,-5
> daher is das teil surjektiv?
>
Hallo,
das mußt Du prüfen.
Findest Du zu jeder Zahl [mm] r\in \IR [/mm] ein Zahlenpaar, welches darauf abgebildet wid?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 26.10.2009 | | Autor: | den9ts |
ja .. man kann ja sogar sagen, dass man unendlich viele a+b (a,b [mm] \in \IR) [/mm] finden, die ein und dasselbe r (r [mm] \in \IR) [/mm] erzeugen
sodass [mm] \forall [/mm] r [mm] \in \IR \exists [/mm] x,y [mm] \in \IR: [/mm] x+y=r , wodurch die surjektivität bestätigt wird.. oder mach ich grad was falsch?
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> ja .. man kann ja sogar sagen, dass man unendlich viele a+b
> (a,b [mm]\in \IR)[/mm] finden, die ein und dasselbe r (r [mm]\in \IR)[/mm]
> erzeugen
Hallo,
ja.
Und für den Beweis der Surjektivität kommt es nun darauf an, daß Du zu [mm] r\in \IR [/mm] eins der Paare angibst, welches darauf abgebildet wird.
Also:
sei [mm] r\in \IR.
[/mm]
Es ist g(r,0)=0+r=r,
also ist g surjektiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Di 27.10.2009 | | Autor: | den9ts |
aber die funktion ist nich surjektiv?
weil eigentlich gilt doch, dass jedem y-wert ein x-wert zugeordnet werden kann?!
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> aber die funktion ist nich surjektiv?
Hallo,
geht's um die Funktion in Aufgabe A)?
Wenn sie surjektiv ist, dann gibt's zu jedem [mm] n\in \IN [/mm] ein [mm] n'\in \IN [/mm] mit g(n')=n.
Und? Ist das der Fall, oder nicht?
Welches Element n' wird auf die 5 abgebildet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Di 27.10.2009 | | Autor: | den9ts |
ja .. ging um die erste aufgabe..
aber da es ja keine natuerliche zahl ^2 gibt, die 5 ergibt, hat y=5 kein [mm] x^2
[/mm]
daher bleibts wohl injektiv >.<
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