projektive ebene, unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:08 So 05.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | K Körper, [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] Menge der ein-dimensionalen Unterräume
von [mm] $K^{3},$ $\mathcal{G}$ [/mm] Menge der zwei-dimensionalen Unterräume
von [mm] $K^{3}.$\\ [/mm]
Beweisen Sie folgende Aussagen:
(1) Zu [mm] P\neq P'\in \mathcal{P} \exists [/mm] genau ein [mm] G\in \mathcal{G} [/mm] mit [mm] P\subset [/mm] G und [mm] P'\subset [/mm] G.
(2) Zu [mm] G\neq G'\in \mathcal{G} \exists [/mm] genau ein [mm] P\in \mathcal{P} [/mm] mit [mm] P\subset [/mm] G und [mm] P'\subset [/mm] G
(3) [mm] \eta:K^2\rightarrow [/mm] P, mit [mm] \eta(x)=L(\vektor{1 \\ x}), x\in K^2 [/mm] ist injektiv. Wie sieht das Bild aus?
(4) Zu jeder Geraden g in [mm] K^2 [/mm] gibt es ein [mm] G\in \mathcal{G} [/mm] mit [mm] \eta(x)\subset [/mm] G [mm] \forall x\in [/mm] g. |
Hallo,
zu (1). Ich kann doch getrost voraussetzen, dass ich zu P und P' ein G finde, sodass [mm] P\subset [/mm] G und [mm] P'\subset [/mm] G gilt, oder? Dann muss ich nur noch die Eindeutigkeit zeigen. Ich würde es mit Widerspruch machen und denken, dass der Widerspruch am Ende darauf hinauslaufen wird, dass für ein zweites G folgen würde P=P'. Den genauen Widerspruchsbeweis habe ich allerdings noch nicht hinbekommen. Das gleiche gilt für (2).
Zu (3). Für Injektivität zeige ich: [mm] \eta(x_1)=\eta(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
[/mm]
So: [mm] \eta(x_1)=L(\vektor{1 \\ x_1})=L(\vektor{1 \\x_2})=\eta(x_2)
[/mm]
Dann gilt also für die Basis der Unterräume: [mm] \vektor{1\\x_1}=\vektor{1\\x_2} [/mm] und damit [mm] x_1=x_2, [/mm] Injektivität, richtig so?
Was kann man über das Bild weiteres sagen, als das es eindimensionale Unterräume sind?
Zu (4). Eine Gerade ist doch auch ein ein-dimensionaler Unterraum. Aber sie soll ja in [mm] K^2 [/mm] sein. Damit weiß ich nicht so recht, wie ich das zeigen soll.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß Unk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 07.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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