projektive Ebene des K^3 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jede projektive Ebene PG(3,K) hat mindestens 7 Punkte und es gibt eine solche mit genau sieben Punkten. |
Ich verstehe diese Aufgabe irgendwie nicht so ganz. Ich habe mir den [mm] \IZ_{2} [/mm] angesehen, bin dort aber auf acht und nicht auf sieben punkte gekommen, die aber irgendwie alle nicht auf einer Ebene liegen.
Kann mir bitte ganz schnell jemand helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Di 29.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nora!
> Zeigen Sie: Jede projektive Ebene PG(3,K) hat mindestens 7
> Punkte und es gibt eine solche mit genau sieben Punkten.
>
> Ich verstehe diese Aufgabe irgendwie nicht so ganz. Ich
> habe mir den [mm]\IZ_{2}[/mm] angesehen, bin dort aber auf acht und
> nicht auf sieben punkte gekommen, die aber irgendwie alle
> nicht auf einer Ebene liegen.
Wie bist du denn auf 8 Punkte gekommen? Schreib uns das doch mal auf, zusammen mit eurer Definition von $PG(3, K)$. Wenn du uns die gibst, koennen wir versuchen dir zu erklaeren, wie du damit die Anzahl der Punkte in $PG(3, K)$ berechnen kannst.
LG Felix
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also die definition lautet wie folgt:
Sei K ein Körper, [mm] V=K^{3} [/mm] ein dreidimensionaler K-Vektorraum.
P={1-dimensionalen Unterräume von V}
G={2-dimensionalen Unterräume von V}.
Der Punkt p [mm] \in [/mm] P liegt auf der Geraden g [mm] \in [/mm] G gdw. p [mm] \subseteq [/mm] g.
Ich dachte, dass mit [mm] \IZ_{2} [/mm] genau acht Tripel gebildet werden können, also acht Punkte. Ist das so falsch?
Wie berechnet man denn, wie viele Punkte es in einem Körper gibt, dh. wie viele 1-dimensionale Unterräume es gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Di 29.04.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Nora!
> also die definition lautet wie folgt:
> Sei K ein Körper, [mm]V=K^{3}[/mm] ein dreidimensionaler
> K-Vektorraum.
> P={1-dimensionalen Unterräume von V}
> G={2-dimensionalen Unterräume von V}.
> Der Punkt p [mm]\in[/mm] P liegt auf der Geraden g [mm]\in[/mm] G gdw. p
> [mm]\subseteq[/mm] g.
>
> Ich dachte, dass mit [mm]\IZ_{2}[/mm] genau acht Tripel gebildet
> werden können, also acht Punkte. Ist das so falsch?
Das stimmt, aber einer dieser Punkte ist (0, 0, 0). Wie viele 1-dimensionale Unterräume (das sind die 'Punkte' in deinem Modell) kannst du also bilden? Aus wie vielen Elementen besteht ein 1-dimensionaler VR über F2?
> Wie berechnet man denn, wie viele Punkte es in einem
> Körper gibt, dh. wie viele 1-dimensionale Unterräume es
> gibt?
Zumindest für den Körper F2 solltest du das herauskriegen, schreib ihn einfach hin und zähl die Elemente.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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