primitive n-te Einheitswurzeln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 29.01.2014 | | Autor: | p0wl |
| Aufgabe | Wie viele primitive 10-te Einheitswurzeln besitzt der Körper [mm] $GF(3^4)$ [/mm] ?
Verwenden Sie eine geeignete Darstellung für [mm] $GF(3^4)$, [/mm] um eine primitive n-te Einheitswurzel konkret anzugeben. |
Hallo zusammen!
Also, es gibt doch n-te EW in $GF(81)$, da $GF(81)^*$ die Ordnung $80$ hat und offensichtlich $10|80$. Das ist so weit klar.
Eine solche EW $a$ ist primitiv, wenn sie die Ordnung $10$ hat, wenn also $a^10 = 80$.
Also muss gelten $a^10 = 80$. Hier komme ich nicht weiter. Ich glaube, da fehlt nicht viel aber es will seit Stunden nicht klick machen.
Danke schon jetzt!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
was weißt du denn über die Struktur der Gruppe [mm] $(GF(81)^\times,\cdot [/mm] )$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Do 30.01.2014 | | Autor: | p0wl |
Ich finde hier einen Satz, dass ich sie mit [mm] $x^i [/mm] mod f(x) (i [mm] \in [/mm] 0,1,...,79)$ erzeugen kann. Willst du darauf hinaus? Ich kann nicht mehr ganz klar denken, sorry!
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Dem "Satz" mangelt es massiv an Kontext. Was ist das f hier?
Meinst du damit, dass x ein Erzeuger der Gruppe ist?
Ich will eigentlich auf einen kleinen aber wichtigen Satz raus, meist in der Form formuliert.: Ist R ein Int.ring und [mm] $G\subseteq R^\times$ [/mm] endlich, so ist G zyklisch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Do 30.01.2014 | | Autor: | p0wl |
Ja es tut mir leid. Das war Quatsch nach 10 Stunden lernen. Ich wollte darauf hinaus, dass jeder endlicher ein primitives Element hat, das die mult. Gruppe erzeugt.
Wir hatten nur behandelt, dass die mult. Gruppe zyklisch ist. Reicht das eventuell auch?
"Für jeden endlichen Körper $GF(q)$ gilt, dass die multiplikative Gruppe zyklisch ist. Das heißt, es existiert ein Element [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $GF(q)\\\{0\}=\{a ^1,...,a^{q-1}\}$ [/mm] (Das primitive Element.)
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> Ja es tut mir leid. Das war Quatsch nach 10 Stunden lernen.
Dann zieh bitte die Konsequenz daraus, dass wenn nach 10 Stunden lernen das Hirn nicht mehr will man auch aufhören sollte. Ich kenne niemanden, inklusive Juristen, die wirklich effektiv mehr als 8 Stunden am Tag lernen können (netto). Das Hirn braucht auch Zeit die Information zu verarbeiten, sprich Erholung,Sport,Schlaf,Party,etc.
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> Wir hatten nur behandelt, dass die mult. Gruppe zyklisch
> ist. Reicht das eventuell auch?
> "Für jeden endlichen Körper [mm]GF(q)[/mm] gilt, dass die
> multiplikative Gruppe zyklisch ist. Das heißt, es
> existiert ein Element [mm]\alpha[/mm] mit [mm]GF(q)\backslash{0\}=\{a^0,a ^1,...,a^{q-1}\}[/mm]
> (Das primitive Element.)
Ja, dass ist das was nötig ist. Der von mir angerissene Satz ist genauso/leicht zu zeigen wie dieser Spezialfall.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 30.01.2014 | | Autor: | p0wl |
Da hast du natürlich Recht. Aber das ist manchmal nicht so einfach, wenn man sich in etwas verbissen hat.
Was bedeutet dieser Satz für die Aufgabe? Sorry, aber ich komm gerade nicht drauf.
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Es ist schwierig noch mehr zu sagen ohne die Aufgabe schon zu "lösen".
Welche Ordnungen haben die Elemente mit [mm] $x^{10}=1$ [/mm] ?
Und wie viele Elemente dieser Ordnungen gibt es in einer zyklischer Gruppe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 30.01.2014 | | Autor: | p0wl |
Sie haben die Ordnungen, die Teiler von 10 sind. Also 1,2,5,10.
Naja, wie viele Elemente dieser Ordnungen es gibt kann ich leider nicht sagen. Es tut mir auch wirklich leid, dass ich mich hier so blöd anstelle.
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