primfaktorzerlegung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Mo 07.05.2007 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung des Polynoms T4 − 1 über K = [mm] \IR
[/mm]
und über K = [mm] \IF5, [/mm] dem Körper mit fünf Elementen. |
hey leute...
hab leider gar keine ahnung, wie man sowas angeht. habt ihr da viell einen tip :(
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Hallo AriR!
> Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung des Polynoms T4
> − 1 über K = [mm]\IR[/mm]
> und über K = [mm]\IF5,[/mm] dem Körper mit fünf Elementen.
> hey leute...
Die Aufgabe ist, das Polynom [mm]T^4-1[/mm] in Primelemente zu zerlegen, d.h. in Elemente [mm]p \in K[T][/mm], für die gilt: Ist [mm]p = qr \in K[T][/mm], so ist entweder q oder r eine Einheit von [mm]K[T][/mm]. Jedes Primelement ist irreduzibel.
Die Aufgabe besteht darin, Nullstellen des Polynoms in den angegebenen Körpern zu finden, und das Polynom in Polynome minimalen Grades zu zerlegen.
Sei [mm]K = \IR[/mm]. Durch Prüfen der Nullstellen und Polynomdivision erhältst Du [mm]T^4-1 = (T^2 +1)(T+1)(T-1)[/mm]. [mm](T^2 +1)[/mm] kann in [mm]\IR[T][/mm] nicht weiter in Polynome vom Grad 1 zerlegt werden.
Für [mm]K = \IF_{5}[/mm] machst Du dasselbe, mußt aber beim Rechnen auf Kongruenzen achten. Es sollte (nach meiner Rechnung) dabei [mm]T^4-1 = (T+1)(T-1)(T-2)(T-3)[/mm] herauskommen.
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Karsten,
> Für [mm]K = \IF_{5}[/mm] machst Du dasselbe, mußt aber beim Rechnen
> auf Kongruenzen achten. Es sollte (nach meiner Rechnung)
> dabei [mm]T^4-1 = (T+1)(T-1)(T-2)(T-3)[/mm] herauskommen.
du hast dich nicht verrechnet! :)
Man kann sich das auch noch anders ueberlegen: die multiplikative Gruppe [mm] $\IF_5^*$ [/mm] hat vier Elemente, womit nach dem kleinen Satz von Fermat [mm] $x^4 [/mm] = 1$ gilt fuer jedes $x [mm] \in \IF_5^*$. [/mm] Also ist jedes Element aus [mm] $\IF_5^*$ [/mm] Nullstelle des Polynoms [mm] $T^4 [/mm] - 1 [mm] \in \IF_5[T]$. [/mm] Da das Polynom Grad 4 hat und somit hoechstens vier Nullstellen haben kann, sind dies bereits alle. Also ist [mm] $T^4 [/mm] - 1 = (T - 1) (T - 2) (T - 3) (T - 4)$.
Aber das geht natuerlich nur in diesem speziellen Fall, bzw. etwas allgemeiner wenn man [mm] $T^{q-1} [/mm] - 1$ ueber [mm] $\IF_q$ [/mm] hat :)
LG Felix
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Sehr schön! Danke Felix!
LG
Karsten
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