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| Aufgabe | Bemerkung der Vorlesung:
Sei A [mm] \in K^{nxn} [/mm] mit Minimalpolynom [mm] \mu_A [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{l} p_i^{m(i)}, [/mm] charakteristischem Polynom [mm] \chi_A=\produkt_{i=1}^{l} p_i^{c(i)} [/mm] und [mm] H_i:=Kern(p_i^{m(i)}(A)) [/mm] der [mm] p_i-Hauptraum. [/mm] Dann ist [mm] K^{nx1}= \oplus_{i=1}^{l} H_i [/mm] eine A (mit übergeschriebenem [mm] \sim)-invariante [/mm] Zerlegung. Bzgl. einer an diese Zerlegung angepassten Basis hat A (mit übergeschriebenem [mm] \sim) [/mm] also eine Matrix [mm] Diag(A_1,...,A_l) [/mm] in Blockdiagonalgestalt. Ist [mm] RKF(A_i)=Diag(M(p_i^{a_{i1}}),...,M(p_i^{a_{i s_i}})) [/mm] die rationale kanonische Form von [mm] A_i [/mm] (also 0 < [mm] a_1 \le a_2 \le [/mm] ... [mm] \le a_s, c_i=a_1+...+a_s, a_s=m(i)), [/mm] so ist A ähnlich zu
[mm] PRF(A)=Diag(RKF(A_1),...,RKF(A_l))=Diag(M(p_1^{a_{11}}),...,M(p_l^{a_l_{s_l}})). [/mm] PRF(A) heißt die primäre rationale Form von A. Übung: Die [mm] a_{ij} [/mm] lasen sich aus der Primfaktorzerlegung der Elementarteiler der charakteristischen Matrix X(A) von A bestimmen.
Anmerkung von mir:
M(p) bezeichnet die Begleitmatrix zum Polynom p. |
Hallo! Leider bin ich zu doof diese Bemerkung unseres LA II Skriptes in die Tat umzusetzen. Wenn ich jetzt wirklich mal diese PRF von A bestimmen möchte, verstehe ich einfach nicht, wie ich auf die Matrizen [mm] A_1,...,A_l [/mm] kommen soll...
Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen, oder einfach generell mal beschreiben wie man am besten vorgehen sollte um diese Normalform zu bestimmen. Und hat die vielleicht noch irgend einen geläufigeren Namen? Im Netz findet man unter "primäre rationale Form" leider nahezu nichts dazu.
Vielen Dank schonmal :)
Edit:
Die Frage hat sich geklärt. Falls irgendwann mal jemand wissen möchte wie es geht:
Zur Matrix A bestimmt man sich char. Polynom und Minimalpolynom, erstellt damit die Jordan-Normalform. Dann bekommt jedes Jordankästchen entsprechend seiner Größe eine Begleitmatrix in der PRF zugeordnet. Wenn man zur JNF die entsprechende Partition zur Dimensionszahl "n" angibt, kann man es daraus quasi ablesen.
Ein Beispiel:
[mm] \chi_A [/mm] = [mm] (x-a)^2*(x-b)^3, \mu_A [/mm] = [mm] (x-a)*(x-b)^2.
[/mm]
Dann gilt: [mm] JNF(A)=Diag(a,a,J_2(b),b)) [/mm] und die entsprechende Partition ist (1,1),(2,1).
Dann folgt: [mm] PRF(A)=Diag(M(x-a),M(x-a),M((x-b)^2),M(x-b)).
[/mm]
Man kann die benötigten Exponenten also in der Partition ablesen.
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 20.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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