pq-Formel bei Parabeln < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.) [mm] x^2-4x-5=0
[/mm]
2.) [mm] x^2-9x+3=0 [/mm] |
Hallo zusammen,
2 Fragen habe ich:
1:
die 1.) habe ich folgendermaßen gelöst:
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{2} \pm \wurzel{\bruch{16}{4}+5}
[/mm]
= 2 [mm] \pm \wurzel{9}
[/mm]
= 2 [mm] \pm [/mm] 3
[mm] x_1 [/mm] = 5 [mm] \vee x_2=-1
[/mm]
So, nun habe ich also die Ergebnisse ... und was sagen die mir? Was benennen nun diese 2 Punkte? Und wie könnte eine Aufgabenstellung in der Klausur aussehen?
2:
bei der 2.) habe ich folgendermaßen gerechnet, komme aber nicht zu einem Ergebnis, was habe ich falsch gemacht?
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{9}{2} \pm \wurzel{\bruch{81}{4}-3}
[/mm]
= [mm] \bruch{9}{2} \pm \wurzel{\bruch{81}{4}-\bruch{12}{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{9}{2} \pm \wurzel{\bruch{69}{4}}
[/mm]
Und jetzt? Wie rechne ich jetzt weiter? Denn die Wurzel aus [mm] \bruch{69}{4} [/mm] ist doch eine irre krumme Zahl, welche ich unmöglich von [mm] \bruch{9}{2} [/mm] subtrahieren oder multiplizieren kann, oder?
Wäre echt suepr dankbar für Hilfe!
Lieben Gruß
Sarah
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Hi Sarah,
> 1.) [mm] x^{2}-4x-5=0
[/mm]
> 2.) [mm] x^{2}-9x+3=0
[/mm]
> 1:
> die 1.) habe ich folgendermaßen gelöst:
>
> [mm]x_1/2[/mm] = [mm]\bruch{4}{2} \pm \wurzel{\bruch{16}{4}+5}[/mm]
> = 2 [mm]\pm \wurzel{9}[/mm]
>
> = 2 [mm]\pm[/mm] 3
>
> [mm]x_1[/mm] = 5 [mm]\vee x_2=-1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") -> Alles korrekt soweit.
> So, nun habe ich also die Ergebnisse ... und was sagen die
> mir? Was benennen nun diese 2 Punkte? Und wie könnte eine
> Aufgabenstellung in der Klausur aussehen?
Diese zwei Ergebnisse geben dir die Nullstellen der Parabel an. Also bei x = 5 und bei x = -1 schneidet die Funktion die X-Achse. Der Graph sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> 2:
> bei der 2.) habe ich folgendermaßen gerechnet, komme aber
> nicht zu einem Ergebnis, was habe ich falsch gemacht?
>
> [mm]x_1/2[/mm] = [mm]\bruch{9}{2} \pm \wurzel{\bruch{81}{4}-3}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{9}{2} \pm \wurzel{\bruch{81}{4}-\bruch{12}{4}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{9}{2} \pm \wurzel{\bruch{69}{4}}[/mm]
>
> Und jetzt? Wie rechne ich jetzt weiter? Denn die Wurzel aus
> [mm]\bruch{69}{4}[/mm] ist doch eine irre krumme Zahl, welche ich
> unmöglich von [mm]\bruch{9}{2}[/mm] subtrahieren oder multiplizieren
> kann, oder?
-> Du hast alles völlig richtig gemacht. Da kommen halt "krumme" Zahlen raus. Du bist fast fertig. Du hast also richtigerweise raus:
-> [mm] \bruch{9}{2} \pm \wurzel{\bruch{69}{4}}
[/mm]
-> [mm] x_{1,2} [/mm] = 4,5 [mm] \pm \wurzel{\bruch{69}{4}}
[/mm]
-> [mm] x_{1} \approx [/mm] 8.653311931 und [mm] x_{2} \approx [/mm] 0.3466880685
Das sind wieder deine Nullstellen, und der Graph sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Super, ich danke dir Analytiker!
Nun kann ich die pq-Formel zur Nullstellen Berechnung ja nur nehmen, wenn die Parabel-Gleichung in der Form [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] steht ... gibt es andere Möglichkeiten zur Berechnung, wenn die Gleichung nicht in dieser Form steht?
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Ich danke euch beiden vielmals!!!
Gruß
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Di 09.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Super, ich danke dir Analytiker!
>
> Nun kann ich die pq-Formel zur Nullstellen Berechnung ja
> nur nehmen, wenn die Parabel-Gleichung in der Form
> [mm]y=ax^2+bx+c[/mm] steht ... gibt es andere Möglichkeiten zur
> Berechnung, wenn die Gleichung nicht in dieser Form steht?
Du kannst immer ausmultiplizieren, aber
in Nullstellenform
$0=(x-a)(x-b)$
brauchst Du gar nicht rechnen. Die Nullstellen sind a und b.
in Scheitelpunktform
[mm] $0=(x-a)^2 [/mm] -b$
[mm] $b=(x-a)^2$
[/mm]
[mm] $\pm \sqrt{b}=x-a$
[/mm]
geht's auch leicht.
Und wenn vor dem x ein Vorfaktor steht, mußt Du den halt ausklammern und dann dividieren.
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Okay, da bin ich mir nicht sicher, ob ich das verstanden hab ... könnt ihr mir da mal ein oder zwei Beispiel Gleichungen zu geben, die ich lösen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Di 09.10.2007 | | Autor: | Blech |
a) (4x-6)(x+12)
b) [mm] (3x-2)^2 [/mm] + 5
c) [mm] (4-2x)^2 [/mm] - 4
d) [mm] 4x^2 [/mm] + 4x + 1
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Okay, ich hab mal probiert, aber komische Ergebnisse. Könnte da mal jemand korrigieren, bitte?
a)
(4x-6) (x+12)
[mm] x_1=-6
[/mm]
[mm] x_2=12
[/mm]
b)
[mm] (3x-2)^2 [/mm] + 5
= [mm] 9x^2 [/mm] -12x+4+5
= [mm] 9x^2-12x+9 [/mm] |:9
= [mm] x^2-\bruch{3}{4}+1
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}:2 \pm \wurzel{-\bruch{4}{3}:4-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3} \pm \wurzel{\-\bruch{1}{3}-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3} \pm \wurzel{-1\bruch{1}{3}}
[/mm]
Keine Nullstellen?
c)
[mm] (4-2x)^2-4
[/mm]
= [mm] 4x^2-16x+8 [/mm] |:4
[mm] =x^2-4x+2
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{2} \pm \wurzel{-\bruch{4}{4}-2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{2} \pm \wurzel{-3}
[/mm]
Keine Nullstellen?
d)
[mm] 4x^2+4x+1 [/mm] |:4
= [mm] x^2+x+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{0}
[/mm]
[mm] x_1= -\bruch{1}{2}
[/mm]
Danke und Gruß
Sarah
P.S.: Da es in Aufgabe b nicht geklappt hat Doppelbrüche darzustellen, habe ich es mit dem ":" geschrieben.
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:38 Di 09.10.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo informix,
(4x-6)*(x+12)=0 hat doch die Nullstellen [mm] x_1=1,5 [/mm] und [mm] x_2=-12,
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Di 09.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Okay, ich hab mal probiert, aber komische Ergebnisse.
> Könnte da mal jemand korrigieren, bitte?
>
> a)
> (4x-6) (x+12)
>
> [mm]x_1=-6[/mm]
> [mm]x_2=12[/mm]
Setzen wir mal ein:
(4*(-6)-6)(-6+12)=...
(4*12-6)(12+12)=...
Ein Produkt ist genau dann gleich 0 wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, also hier:
4x-6=0
4x=6
x=1,5
oder:
x+12=0
x=-12
d.h. Nullstellen sind [mm] $x_1=1.5,\ x_2=-12$
[/mm]
> b)
> [mm](3x-2)^2[/mm] + 5
[mm] (3x-2)^2 \geq [/mm] 0
Egal, was Du für x einsetzt, das Quadrat wird immer größer oder gleich 0 sein, weil ein Quadrat nicht negativ sein kann.
[mm] (3x-2)^2 [/mm] + 5 = 0
[mm] (3x-2)^2 [/mm] = -5
bzzzzt. kann nicht sein =)
aber es geht natürlich auch mit Ausmultiplizieren, wie Du's gemacht hast.
> Keine Nullstellen?
Richtig.
>
> c)
> [mm](4-2x)^2-4[/mm]
Das kannst Du hier ohne Formel gleich lösen:
[mm] $(4-2x)^2-4=0$
[/mm]
[mm] $(4-2x)^2=4$
[/mm]
[mm] $4-2x=\pm\sqrt{4}$
[/mm]
[mm] $-2x=-4\pm\sqrt{4}$
[/mm]
[mm] $x=2\pm\sqrt{4}$
[/mm]
> = [mm]4x^2-16x+8[/mm] |:4
+8?
[mm] $(4-2x)^2 [/mm] -4 = [mm] (16-16x+4x^2) [/mm] -4 = [mm] 4x^2 [/mm] -16x +12 = 0$
> d)
> [mm]4x^2+4x+1[/mm] |:4
Geht auch so:
[mm] $4x^2+4x+1=(2x+1)^2$
[/mm]
[mm] $(2x+1)^2=0 \gdw [/mm] 2x+1=0$
2x=-1
[mm] x=-\frac{1}{2}
[/mm]
Aber Deins ist richtig.
> = [mm]x^2+x+\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]x_1/2[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{0}[/mm]
>
> [mm]x_1= -\bruch{1}{2}[/mm]
Richtig.
> P.S.: Da es in Aufgabe b nicht geklappt hat Doppelbrüche
> darzustellen, habe ich es mit dem ":" geschrieben.
Du kannst den "bruch"-Befehl schachteln:
[mm] \bruch{\bruch{4}{3}}{4}
[/mm]
Aber das ":" funktioniert auch. =)
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Aufgepasst: Du darfst die 
p/q-Formel
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
