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| Aufgabe | Wie lauten die Koeffizienten [mm] a_n \in \IN [/mm] der Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(2 [/mm] + [mm] (-1)^n)^n(x [/mm] - [mm] 1)^2^n
[/mm]
und untersuchen Sie für welche x [mm] \in \IR [/mm] die Reihe konvergiert und für welche nicht.
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Hallo,
kann mir jemand vielleicht zu dieser Aufgabe sagen, ob die Lösung so richtig ist:
Die Koeffizienten lauten:
[mm] a_0 [/mm] = 0
[mm] a_2_n_-_1 [/mm] = 0
[mm] a_2_n [/mm] = (2 + [mm] (-1)^n)^n
[/mm]
Der Konvergenzradius ist [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Und da die Reihe für |1 - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] | divergiert, konvergiert die Reihe für alle x [mm] \in [/mm] ]1 - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , 1 + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] [ und für alle anderen x divergiert die Reihe.
Stimmt das so??
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> Wie lauten die Koeffizienten [mm]a_n \in \IN[/mm] der Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(2[/mm] + [mm](-1)^n)^n(x[/mm] - [mm]1)^2^n[/mm]
> und untersuchen Sie für welche x [mm]\in \IR[/mm] die Reihe
> konvergiert und für welche nicht.
>
> Hallo,
>
> kann mir jemand vielleicht zu dieser Aufgabe sagen, ob die
> Lösung so richtig ist:
Hallo,
es wäre schöner, hättest Du den Weg, wie Du zu diesen Ergebnissen gekommen bist, mitgepostet.
>
> Die Koeffizienten lauten:
>
> [mm]a_0[/mm] = 0
Wieso?
>
> [mm]a_2_n_-_1[/mm] = 0
Du meinst, daß [mm] a_n=0 [/mm] für n ungerade.
> [mm]a_2_n[/mm] = (2 + [mm](-1)^n)^n[/mm]
Hier würde ich das genauer schreiben, es ist ja zu unterscheiden zwischen geraden und ungeraden n.
> Der Konvergenzradius ist [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Nein.
schreib die Koeffizienten mal lieber so auf:
[mm] a_n=\begin{cases}..., & \mbox{für } ... \mbox{ } \\ \vdots\\ ..., & \mbox{für } ... \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
dann passiert Dir dieser Fehler nicht.
Gruß v. Angela
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Wie lautet denn der Konvvergenzradius richtig.
Ich habe ihn nach der Formel von Hadamard berechnet:
[mm] \bruch{1}{ \limes_ {n \to \infty}sup\wurzel[n]{|a_n|}}. [/mm] Wenn ich nun nach dieser Formel den [mm] a_n [/mm] einsetze komme ich auf ein Drittel. Da doch die n-te Wurzel vom Betrag von
((2+ [mm] (-1)^n)^n [/mm] gleich (2+ [mm] (-1))^n [/mm] ist. Und wenn ich nun den Limes superior für n gegen unendlich bilde müsste dabei doch 3 herauskommen. Und somit wäre der Konvergenzradius doch ein Drittel.
Oder was ist hierbei falsch????
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> Wie lautet denn der Konvvergenzradius richtig.
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> Ich habe ihn nach der Formel von Hadamard berechnet:
>
> [mm]\bruch{1}{ \limes_ {n \to \infty}sup\wurzel[n]{|a_n|}}.[/mm]
> Wenn ich nun nach dieser Formel den [mm]a_n[/mm] einsetze komme ich
> auf ein Drittel. Da doch die n-te Wurzel vom Betrag von
>
> ((2+ [mm](-1)^n)^n[/mm] gleich (2+ [mm](-1))^n[/mm] ist. Und wenn ich nun den
> Limes superior für n gegen unendlich bilde müsste dabei
> doch 3 herauskommen. Und somit wäre der Konvergenzradius
> doch ein Drittel.
> Oder was ist hierbei falsch????
Hallo,
schreib Dir doch die [mm] a_n [/mm] mal so auf, wie ich es gesagt habe, dann wirst Du es sehen.
Du setzt bei Cauchy-Hadamard ja nicht [mm] a_n [/mm] ein, sondern [mm] a_{2n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 01.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schlumpfinchen,
> Wie lautet denn der Konvvergenzradius richtig.
>
> Ich habe ihn nach der Formel von Hadamard berechnet:
>
> [mm]\bruch{1}{ \limes_ {n \to \infty}sup\wurzel[n]{|a_n|}}.[/mm]
Angela hat Dich ja schonmal gebeten, etwas anders zu machen. Davon abgesehen:
Bei
$$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(2 [/mm] + [mm] (-1)^n)^n(x [/mm] - [mm] 1)^2^n$$
[/mm]
kannst Du auch einfach mal [mm] $y:=(x-1)^2$ [/mm] definieren. Dann hat Deine Reihe die Form
$$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(2 [/mm] + [mm] (-1)^n)^n y^n\,.$$
[/mm]
Mit Cauchy-Hadamard erkennst Du nun, dass [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(2 [/mm] + [mm] (-1)^n)^n y^n$ [/mm] für alle $|y| < [mm] \tilde{R}=\tilde{R}_y:=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2+(-1)^n|^n}}=\frac{1}{3}$ [/mm] konvergiert und für alle $|y| > [mm] \tilde{R}$ [/mm] divergiert. Mit der Resubstitution [mm] $y=(x-1)^2$ [/mm] erkennst Du somit, dass Deine Potenzreihe in [mm] $\,x$ [/mm] für alle $|x-1| < [mm] \sqrt{\tilde{R}}=R=R_x$ [/mm] konvergiert und für alle $|x-1| > [mm] \sqrt{\tilde{R}}=R$ [/mm] divergiert. Was bedeutet das für den Konvergenzradius [mm] $R=R_x$ [/mm] Deiner Potenzreihe in der Variablen [mm] $x\,$?
[/mm]
P.S.:
Wenn Du die [mm] $a_n$ [/mm] mal alle aufgeschrieben hast (das kann man so ähnlich machen, wie Du es getan hast:
[mm] $a_0=(2+(-1)^0)^0=1\,,$ $a_1=0\,,$ $a_2=1\,,$ $a_3=0\,,$ $a_4=3^2\,,$ $a_5=0\,,$ $a_6=1\,,$ $a_7=0\,,$ $a_8=3^4$..., [/mm] d.h. [mm] $a_0=1$ [/mm] und [mm] $a_n=(2+(-1)^k)^k$ [/mm] für $n=2k$ mit einem $k [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $a_n=0$ [/mm] für $n=2k-1$ mit einem $k [mm] \in \IN$), [/mm] dann erkennst Du, dass, wenn man hier Cauchy-Hadamard korrekt anwenden würde, der Konvergenzradius vermittels:
[mm] $$\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|2+(-1)^n|^n}}$$
[/mm]
zu berechnen wäre.
Damit kann man allgemein eine solche Regel herleiten:
Hat eine Potenzreihe die Gestalt
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^{n_k}$$
[/mm]
mit einer streng monoton wachsenden Folge [mm] $(n_k)_{k \in \IN_0}$ [/mm] in [mm] $\IN_0$, [/mm] so berechnet sich der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe zu
[mm] $$R:=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} |a_k|^{1/n_k}}\,,$$
[/mm]
d.h. die Potenzreihe konvergiert für alle [mm] $|z-z_0| [/mm] < R$ und divergiert für alle [mm] $|z-z_0| [/mm] > [mm] R\,.$
[/mm]
(Das ist dann eine direkte Konsequenz aus dem Wurzelkriterium!)
Bei Dir ist [mm] $n_k=2k$ [/mm] $(k [mm] \in \IN_0)$ [/mm] und [mm] $a_k=(2+(-1)^k)^k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort. Ich glaube ich muss mir alles nochmal in Ruhe anschauhen, da ich mich mit der Thematik wohl doch etwas zu oberflächlich beschäftigt habe.
Trotzdem vielen Dank und viele Grüße....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 01.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schlumpfinchen,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort. Ich
> glaube ich muss mir alles nochmal in Ruhe anschauhen, da
> ich mich mit der Thematik wohl doch etwas zu oberflächlich
> beschäftigt habe.
>
> Trotzdem vielen Dank und viele Grüße....
es sieht jetzt vielleicht ein wenig kompliziert aus, ist es aber gar nicht:
Vielleicht auch nochmal anders:
Deine Potenzreihe hat die Gestalt
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^{2k}\,,$$
[/mm]
ausgeschrieben wäre das
[mm] $$a_0 (x-x_0)^0+a_1(x-x_0)^2+a_2 (x-x_0)^4+a_3 (x-x_0)^6+...$$
[/mm]
Das Problem ist hier, dass, bei aufeinanderfolgenden Summanden, sich die Exponenten bei [mm] $(x-x_0)$ [/mm] nicht um [mm] $1\,$ [/mm] unterscheiden, wie es eigentlich bei einer Potenzreihe sein sollte, sondern um [mm] $2\,.$
[/mm]
Schmuggelst Du nun [mm] $0\,$en [/mm] rein, so kannst Du oben auch (ohne Veränderung des Konvergenzverhaltens der Reihe und, im Falle der Kgz., auch ohne Veränderung des Grenzwertes) die Reihe umschreiben zu
[mm] $$b_0(x-x_0)^0+b_1(x-x_0)^1+b_2(x-x_0)^2+b_3(x-x_0)^4+b_4(x-x_0)^5+...\,,$$
[/mm]
wobei Du [mm] $b_0=a_0\,,$ $b_1=0\,,$ $b_2=a_1\,,$ $b_3=0\,,$ $b_4=a_2\,,$ [/mm] ...
setzen solltest.
Die letzte Reihe ist 'wirklich' in der Gestalt einer Potenzreihe, der Konvergenzradius dieser Reihe berechnet sich also mit
[mm] $$\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|b_k|}}\,.$$
[/mm]
Weil aber [mm] $|b_k|=0$ [/mm] für alle ungeraden [mm] $k\,$ [/mm] ist, ist
[mm] $$\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|b_k|}=\limsup_{\substack{K \to \infty\\K\;gerade}}\sqrt[K]{|b_{K}|}=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[2k]{|b_{2k}|}=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[2k]{|a_k|}\,.$$
[/mm]
Vll. findest Du diesen Weg ja verständlicher, da 'anschaulicher'...
Gruß,
Marcel
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